На этой странице объясняется, что такое полный полином, а также вы можете увидеть примеры полных полиномов. Кроме того, вы узнаете, что означает, что полином одновременно является полным и упорядоченным. И, наконец, мы проанализируем различия между полными многочленами и неполными многочленами.
Что такое полный полином?
В математике определение полного многочлена следующее:
Полный многочлен — это такой многочлен, который образован всеми членами всех степеней, то есть полный многочлен имеет все члены от монома высшей степени до независимого члена.
Например, следующий полином является полным:
Действительно, это полный полином, поскольку он составлен из всех членов от третьей до нулевой степени: моном х 3 — третьей степени, член 4х 2 — второй степени, элемент -5х — первой степени. степень и, наконец, цифра 3 — это степень 0.
С другой стороны, вам следует очень четко понимать концепцию, которая называется членом нулевой степени многочлена (номер 3 предыдущего многочлена), поскольку у него есть определенное имя. Если нет, я рекомендую вам взглянуть на то, что такое независимый член многочлена , где это подробно объяснено.
Примеры полных полиномов
Как только мы узнаем концепцию полного полинома, давайте посмотрим больше примеров этого типа многочлена:
- Пример полного полинома степени 2:
- Пример полного многочлена 4-й степени:
- Пример полного полинома 7-й степени:
Хотя это совершенно другая концепция, если вы зашли так далеко, вам наверняка будет интересно узнать, что такое полиномиальное разложение числа. На самом деле, об этом мало кто знает, но на самом деле это очень полезно.
Полный и упорядоченный полином
Теперь, когда мы знаем, когда полином является полным, давайте посмотрим, что такое полные и упорядоченные многочлены.
Помните, что упорядоченный многочлен состоит из многочлена, в котором все члены упорядочены от высшей степени к низшей. Например, следующий полином упорядочен:
Следовательно, полным и упорядоченным многочленом является тот многочлен, который одновременно удовлетворяет свойствам полных многочленов и упорядоченных многочленов. То есть полный и упорядоченный многочлен — это такой многочлен, в котором есть все мономы всех степеней, причем указанные мономы упорядочены по убыванию.
Как видите, полином из предыдущего упражнения полный и упорядоченный, поскольку в нем есть все члены от степени 5 до независимого члена и, кроме того, все эти члены в порядке.
Хотя упорядоченные полиномы кажутся чем-то очень простым, они более важны, чем кажутся. Например, при умножении и делении многочленов важно, чтобы многочлены были хорошо упорядочены для правильного выполнения операции. Если вы не понимаете, о чем я говорю, вот две страницы, на которых объясняется , как умножать многочлены и как делить многочлены .
Полный и неполный полином
Наконец, мы проанализируем, чем отличаются полные полиномы от неполных.
Неполный многочлен — это многочлен, который НЕ содержит всех мономов всех степеней, но в котором отсутствует член.
Например, следующий многочлен является неполным, поскольку у него нет монома степени 3 или независимого члена:
Поэтому мы могли бы сказать, что неполный многочлен является полной противоположностью полного многочлена.
Умение отличать полный полином от неполного многочлена очень важно при выполнении определенных операций. Например, процедура применения правила Руффини меняется в зависимости от того, является ли полином полным или неполным. Вы можете увидеть, что такое метод Руффини и как он применяется, на нашей странице Руффини (упражнения) .