Диапазон массива на основе параметра

На этой странице вы увидите, как рассчитать рейтинг таблицы на основе параметра. Вы также найдете пошаговые примеры и решенные упражнения о том, как найти диапазон матрицы по одному параметру.

Чтобы полностью понять процедуру изучения ранга матриц с параметрами, важно, чтобы вы уже знали , как вычислять ранг матрицы по определителям . Поэтому мы рекомендуем вам сначала изучить эти две вещи, прежде чем продолжить чтение.

Как вычислить диапазон массива на основе параметра. Пример:

Определяет диапазон матрицы A на основе различных значений параметров.
$\displaystyle a :$

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{pmatrix}$

Матрица A будет иметь не более 3-го ранга, поскольку это матрица 3-го порядка. Поэтому первое, что нам нужно сделать, это решить определитель всей матрицы 3х3 с помощью правила Сарруса , чтобы посмотреть, может ли он иметь ранг 3:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{vmatrix} & =-a(a+1)+0+0+a+1-0-0 \\ & =-a^2-a+a+1 \\[1.5ex] & =-a^2+1 \end{aligned}$

Результат определителя является функцией параметра

$\displaystyle a$

. Поэтому мы устанавливаем результат равным 0, чтобы увидеть, когда таблица будет иметь ранг 2, а когда — ранг 3:

$\displaystyle -a^2+1 = 0$

И решаем полученное уравнение:

$\displaystyle a^2 = 1$

$\displaystyle \sqrt{a^2} = \sqrt{1}$

$\displaystyle \bm{a = \pm 1}$

Поэтому, когда

$\displaystyle a$

независимо от того, равно ли это +1 или -1, определитель 3×3 будет равен 0 и, следовательно, ранг матрицы не будет равен 3. С другой стороны, когда

$\displaystyle a$

отличается от +1 и -1, определитель будет отличен от 0 и, следовательно, матрица будет иметь ранг 3.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Теперь посмотрим, что произойдет, когда

$\displaystyle \bm{a=+1} :$

$\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Как мы видели ранее, когда

$\displaystyle a$

равно 1, определитель матрицы равен 0. Поэтому он не может иметь ранг 3. Теперь мы попытаемся вычислить определитель 2 × 2, отличный от 0, внутри матрицы, например, в верхнем левом углу:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{vmatrix} =-2-0= -2 \neq 0$

Определитель второго порядка отличен от 0. Таким образом, при параметре

$\displaystyle a$

или +1, ранг матрицы будет равен 2:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Как только мы увидим диапазон матрицы, когда

$\displaystyle a \neq +1,-1$

и когда

$\displaystyle a=+1$

Давайте посмотрим, что произойдет, когда

$\displaystyle \bm{a = -1} :$

$\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

Как мы видели вначале, когда

$\displaystyle a$

es -1, а определитель матрицы равен 0. Поэтому ему нельзя присвоить ранг 3. Поэтому следует попытаться встретить в матрице определитель 2×2, отличный от 0, например нижний часть матрицы. ЛЕВЫЙ:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} = 0-(-1)= 1\neq 0$

Определитель размерности 2 отличен от 0. Таким образом, при параметре

$\displaystyle a$

или -1, ранг таблицы будет равен 2:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Таким образом, мы нашли 3 различных случая, в которых ранг матрицы A зависит от значения, которое принимает параметр.

$\displaystyle a.$

Вот резюме :

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

Теперь, когда вы знаете, как обсуждать диапазон матриц, зависящих от параметров, вы можете попрактиковаться в выполнении приведенных ниже пошаговых упражнений. Для их решения вам наверняка помогут свойства определителей , поэтому, если вы не очень разбираетесь в них, советую сначала заглянуть на связанную страницу, где каждый из них поясняется примерами.

Исправлены проблемы с диапазоном матриц на основе параметров.

Упражнение 1

Изучите диапазон следующей таблицы на основе значения параметра.

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Матрица A будет иметь не более ранга 3, поскольку это матрица 3×3. Следовательно, первое, что нам нужно сделать, это решить определитель всей матрицы (с помощью правила Сарруса), чтобы увидеть, может ли он иметь ранг 3:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} =0-8+2a-4a+12-0 =-2a+4$

Мы устанавливаем результат равным 0, чтобы увидеть, когда массив будет иметь ранг 2, а когда — 3:

$\displaystyle -2a+4=0$

$\displaystyle -2a=-4$

$\displaystyle a=\cfrac{-4}{-2} = 2$

Поэтому, когда

$\displaystyle a$

отлично от 2, определитель 3×3 будет отличен от 0 и, следовательно, ранг матрицы будет равен 3.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Теперь посмотрим, что произойдет, когда

$\displaystyle a=2 :$

$\displaystyle a = 2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{vmatrix} = 6-2 = 4 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Таким образом, мы обнаружили 2 случая, в которых диапазон матрицы A меняется в зависимости от значения, которое принимает параметр:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 2 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 2\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

Упражнение 2

Найдите диапазон следующей таблицы на основе значения параметра.

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{vmatrix} & =2a-12-2a+2+12-2a^2 \\ &=2-2a^2\end{aligned}$

Мы устанавливаем результат равным 0, чтобы увидеть, когда массив будет иметь ранг 2, а когда — 3:

$\displaystyle 2-2a^2=0$

$\displaystyle -2a^2=-2$

$\displaystyle a^2=\cfrac{-2}{-2}$

$\displaystyle a^2=1$

$\displaystyle a=\pm 1$

Поэтому, когда

$\displaystyle a$

отличается от +1 и -1, определитель 3×3 будет отличаться от 0 и, следовательно, ранг матрицы будет равен 3.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1, -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Теперь посмотрим, что произойдет, когда

$\displaystyle a=+1 :$

$\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{vmatrix} = 6-1 = 5 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Теперь посмотрим, что произойдет, когда

$\displaystyle a=-1 :$

$\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{vmatrix} =2-(-2) = 4 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Таким образом, мы обнаружили 3 случая, в которых диапазон матрицы A меняется в зависимости от значения, которое принимает параметр:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

Упражнение 3

Вычисляет диапазон следующей таблицы на основе значения параметра.

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{vmatrix} & =(a+1)(a-3) +2+0-5+6(a+1)-0 \\ & = a^2-3a+a-3 +2-5+6a+6 \\[1.5ex] & =a^2+4a\end{aligned}$

Мы устанавливаем результат равным 0, чтобы увидеть, когда массив будет иметь ранг 2, а когда — 3:

$\displaystyle a^2+4a=0$

Это неполное квадратное уравнение, поэтому выделим общий множитель:

$\displaystyle a(a+4)=0$

И мы устанавливаем каждое слагаемое равным 0:

$\displaystyle a(a+4)=0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{a = 0} \\[2ex] a+4=0 \ \longrightarrow \ \bm{a=-4}\end{cases}$

В качестве решений мы получили 0 и -4. Поэтому, когда

$\displaystyle a$

отличается от 0 и -4, определитель 3×3 будет отличаться от 0 и, следовательно, ранг матрицы будет равен 3.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 0, -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Теперь посмотрим, что произойдет, когда

$\displaystyle a=0 :$

$\displaystyle a = 0 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 0 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Теперь посмотрим, что произойдет, когда

$\displaystyle a=-4 :$

$\displaystyle a = -4 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1\end{vmatrix} =-3-0 = -3 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 0,-4 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 0\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -4\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

Упражнение 4

Найдите размер следующей матрицы размером 3×4 в соответствии со значением параметра

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&a \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Матрица A будет иметь не более 3-го ранга, поскольку мы не можем вычислить какой-либо определитель 4×4 . Следовательно, первое, что нам нужно сделать, это найти все возможные определители порядка 3 (с помощью правила Сарруса), чтобы увидеть, может ли он быть порядка 3:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&-2\\[1.1ex] 4&12&8\\[1.1ex] 2&6&4 \end{vmatrix} & =-48-48-48+48+48+48 =\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&1\\[1.1ex] 4&12&-4\\[1.1ex] 2&6&a \end{vmatrix} & =-12a+24+24-24-24+12a=\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-2&1\\[1.1ex] 4&8&-4\\[1.1ex] 2&4&a \end{vmatrix} & =-8a+16+16-16-16+8a=\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -3&-2&1\\[1.1ex] 12&8&-4\\[1.1ex] 6&4&a \end{vmatrix} & =-24a+48+48-48-48+24a=\bm{0}\end{aligned}$

Результаты всех возможных определителей порядка 3 равны 0, независимо от значения

$\displaystyle a$

. Таким образом, матрица никогда не будет ранга 3, поскольку не имеет значения, какое значение она принимает.

$\displaystyle a$

что никогда не будет определителя 3×3, отличного от 0.

Итак, теперь мы пробуем определители размерности 2 × 2. Однако все определители порядка 2 также дают 0, за исключением следующих:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 8&-4\\[1.1ex] 4&a \end{vmatrix} & =8a+16 \end{aligned}$

Теперь приравниваем результат к 0 и решаем уравнение:

$\displaystyle 8a+16=0$

$\displaystyle 8a=-16$

$\displaystyle a=\cfrac{-16}{8} =-2$

Поэтому, когда

$\displaystyle a$

отличается от -2, определитель 2×2 будет отличен от 0 и, следовательно, ранг матрицы будет равен 2.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Теперь посмотрим, что произойдет, когда

$\displaystyle a=-2 :$

$\displaystyle a = -2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&-2 \end{pmatrix}$

Как мы видели ранее, когда

$\displaystyle a$

равно -2, все определители порядка 2 равны 0. Поэтому он не может иметь ранг 2. И поскольку существует хотя бы один определитель 1×1, отличный от 0, в этом случае ранг матрицы равен 1:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq -2 \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -2\ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \\ & \end{array} }$

Как вычислить диапазон массива на основе параметра. Пример:

Исправлены проблемы с диапазоном матриц на основе параметров.

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Оставьте комментарий Отменить ответ