Дополнительная матрица минора, помощника и помощника

В этом разделе мы увидим, что это такое и как вычислить дополнительную минорную, сопряженную и сопряженную матрицу . Кроме того, вы найдете примеры, которые помогут вам в совершенстве понять, и упражнения, решенные шаг за шагом, чтобы вы могли практиковаться.

Что такое дополнительный минор?

Его называют младшим дополнением элемента.

$a_{ij}$

к определителю, полученному вычеркиванием строки

$i$

и столбец

$j$

матрицы.

Как вычислить дополнительный минор элемента?

Давайте посмотрим, как вычисляется дополнительный минор элемента, на некоторых примерах:

Пример 1:

Вычислите младшее дополнение 1 из следующей квадратной матрицы 3 × 3:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Дополнительный минор 1 — это определитель матрицы, который остается при исключении строки и столбца, в которых находится 1. То есть удаление первой строки и второго столбца:

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

Пример 2:

На этот раз мы вычислим дополнительный минор 0 той же матрицы, что и раньше:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Дополнительный минор 0 является определителем матрицы путем удаления строки и столбца, в которых находится 0:

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

Решенные упражнения для дополнительных миноров

Упражнение 1

Вычислите наименьшее дополнение к трем из следующей матрицы 3×3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Дополнительный минор числа 3 — это определитель матрицы, который остается после удаления строки и столбца, в которых находится число 3:

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

Упражнение 2

Найдите дополнительный минор числа 5 в следующей матрице третьего порядка:

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Дополнительный минор числа 5 — это определитель матрицы, которую мы получаем, удаляя строку и столбец, в которых находится число 5:

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

Упражнение 3

Вычислите младшее дополнение к 6 из следующей матрицы 4×4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Дополнительный минор числа 6 — это определитель матрицы, который остается после удаления строки и столбца, в которых находится число 6:

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

Решаем определитель по правилу Саррюса:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

Что является сопряженным элементом массива?

Заместитель

$a_{ij}$

, т. е. позиция

$i$

и столбец

$j$

, получается по следующей формуле:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Как получить сопряженный элемент массива?

Давайте посмотрим, как вычисляется сопряженное элементу, на нескольких примерах:

Пример 1:

Вычислите сопряженное число 4 следующей матрицы порядка 3:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

4 находится во второй строке и столбце 1 , поэтому в этом случае

$i = 2$

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

И, как мы видели ранее, младшее дополнение к 4 является определителем матрицы, исключая строку и столбец, в которых находится 4. Поэтому:

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

Теперь решаем определитель и находим сопряженное к 4:

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

Помните , что отрицательное число, возведенное в четную степень, является положительным. Следовательно, если -1 возвести в четное число, оно станет положительным.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

С другой стороны, если отрицательное число возвести в нечетную степень, оно станет отрицательным. Следовательно, если -1 возвести в нечетное число, оно всегда будет отрицательным.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

Пример 2:

Найдем заместителя 5 той же матрицы, что и ранее:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

Пример 3:

Сделаем заместителем 3 той же матрицы:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

Сопряженный элемент используется для вычисления определителей, как мы увидим позже, и для вычисления сопряженной матрицы, что мы и увидим сейчас.

Решенные упражнения для помощников

Упражнение 1

Вычислите сопряженное 2 из следующей матрицы 3×3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Чтобы получить результат сопряженного числа 2, просто примените формулу сопряженного элемента:

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

Упражнение 2

Найдите сопряженное к 4 следующей матрицы третьего порядка:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Чтобы получить заместителя 4, мы должны использовать формулу заместителя элемента:

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

Упражнение 3

Найдите заместителя 7 в следующей матрице 4×4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Чтобы сделать присоединение 7, мы применяем формулу присоединения элемента:

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

Применим правило Сарруса для решения определителя третьего порядка:

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

Что представляет собой прикрепленная матрица?

Присоединенный массив представляет собой массив, в котором все его элементы заменены своими заместителями.

Как вычислить сопряженную матрицу?

Для расчета матрицы заместителей нам необходимо заменить все элементы матрицы на их заместители.

Давайте посмотрим, как делается объединенная матрица на примере:

Пример:

Вычислите сопряженную матрицу следующей квадратной матрицы размерности 2×2:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

Чтобы вычислить сопряженную матрицу, мы должны вычислить сопряженный элемент каждого элемента матрицы . Поэтому сначала определим сопряженные всех элементов по формуле:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Теперь нам просто нужно заменить каждый элемент массива

$A$

по его заместителю, чтобы найти заместительную матрицу

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

И таким образом находится заместитель матрицы. Но вам, наверное, интересно, для чего все эти расчеты? Ну, одна из утилит соединения матриц — вычисление обратной матрицы . Фактически, наиболее распространенным методом нахождения обратной матрицы является метод сопряженной матрицы.

Решенные проблемы сопряженных матриц

Упражнение 1

Вычислите сопряженную матрицу следующей квадратной матрицы 2×2:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Чтобы вычислить сопряженную матрицу, мы должны вычислить сопряженный элемент каждого элемента матрицы. Поэтому сначала определим сопряженные всех элементов по формуле:

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

Теперь нам просто нужно заменить каждый элемент массива

$A$

по его заместителю, чтобы найти заместительную матрицу

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

Упражнение 2

Найдите сопряженную матрицу следующей матрицы второго порядка:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

Теперь нам просто нужно заменить каждый элемент массива

$A$

по его заместителю, чтобы найти заместительную матрицу

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

Упражнение 3

Вычислите сопряженную матрицу следующей матрицы 3×3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

Теперь нам просто нужно заменить каждый элемент массива

$A$

по его заместителю, чтобы найти заместительную матрицу

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

Что такое дополнительный минор?

Как вычислить дополнительный минор элемента?

Пример 1:

Пример 2:

Решенные упражнения для дополнительных миноров

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Что является сопряженным элементом массива?

Как получить сопряженный элемент массива?

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Решенные упражнения для помощников

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Что представляет собой прикрепленная матрица?

Как вычислить сопряженную матрицу?

Пример:

Решенные проблемы сопряженных матриц

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Оставьте комментарий Отменить ответ