Умножение числа на матрицу

На этой странице мы увидим, как умножить число на матрицу. У вас также есть примеры, которые помогут вам в совершенстве это понять, и решенные упражнения, чтобы вы могли практиковаться. Вы также найдете все свойства произведения скаляра и матрицы.

Как умножить число на матрицу?

Чтобы умножить число на матрицу , умножьте каждый элемент матрицы на число.

Пример:

Решенные задачи умножения числа на матрицу

Упражнение 1:

Решеное упражнение на произведение числа на матрицу 2х2, операции с матрицами.

посмотреть решение

Это умножение скаляра на квадратную матрицу второго порядка:

$\displaystyle 3 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 1 & 3\cdot 3 \\[1.1ex] 3\cdot 2 & 3\cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{9} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

Упражнение 2:

решенное пошагово упражнение умножение числа на матрицу 3х3, действия с матрицами

посмотреть решение

Это произведение числа на квадратную матрицу третьего порядка:

$\displaystyle -4 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\[1.1ex] -1 & 0 & 3 \\[1.1ex] 6 & -2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \cdot 2 & -4 \cdot 1 & -4 \cdot 5 \\[1.1ex] -4 \cdot (-1) & -4 \cdot 0 & -4 \cdot 3 \\[1.1ex] -4 \cdot 6 & -4 \cdot (-2) & -4 \cdot (-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{-4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{0} & \bm {-12} \\[1.1ex] \bm{-24} & \bm{8} & \bm {12} \end{pmatrix}$

Упражнение 3:

Решено упражнение на умножение числа на матрицу 2х2, операции, совмещенные с матрицами.

посмотреть решение

Это операция, объединяющая произведения чисел на матрицы и суммы матриц размерности 2×2:

$\displaystyle 2 \begin{pmatrix} 5 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{pmatrix}+5\begin{pmatrix} 5 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{pmatrix}$

Поэтому сначала нужно решить для продуктов:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 10 & 2 \\[1.1ex] -4 & 6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 25 & 5 \\[1.1ex] -10 & 15 \end{pmatrix}$

И наконец складываем полученные матрицы:

$\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{35} & \bm{7} \\[1.1ex] \bm{-14} & \bm{21} \end{pmatrix}$

Упражнение 4:

Рассмотрим следующие матрицы:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 4 & 0 \\ -3 & 2 & -5 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 2 \\ -3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 7 \end{pmatrix}$

Рассчитать:

$\displaystyle -2A+5I-3B$

посмотреть решение

Это операция, сочетающая скалярное умножение со сложением и вычитанием матриц размером 3×3. Кроме того, матрица

$I$

— это единичная матрица, состоящая из 1 на главной диагонали и 0 на остальных элементах:

$\displaystyle -2\begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 4 & 0 \\[1.1ex] -3 & 2 & -5 \end{pmatrix}+5\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix} 6 & 0 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 & 1 \\[1.1ex] 3 & 2 & 7 \end{pmatrix}$

Поэтому сначала выполняем умножения:

$\displaystyle \begin{pmatrix} -4 & 6 & -10 \\[1.1ex] -2 & -8 & 0 \\[1.1ex] 6 & -4 & 10 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 5 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 18 & 0 & 6 \\[1.1ex] -9 & 12 & 3 \\[1.1ex] 9 & 6 & 21 \end{pmatrix}$

Добавляем первые две матрицы:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 6 & -10 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \\[1.1ex] 6 & -4 & 15 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 18 & 0 & 6 \\[1.1ex] -9 & 12 & 3 \\[1.1ex] 9 & 6 & 21 \end{pmatrix}$

Наконец, выполняем вычитание матриц:

$\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{-17} & \bm{6} & \bm{-16} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{-15} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{-10} & \bm{-6} \end{pmatrix}$

Если эти упражнения по скалярному произведению матриц были вам полезны, не стесняйтесь попрактиковаться с пошагово решенными упражнениями по сложению матриц и произведению матриц — двум типам матричных операций, которые повторяются чаще.

Свойства произведения числа на матрицу

Как вы хорошо знаете, существует много типов матриц : квадратные матрицы, треугольные матрицы, единичная матрица и т. д. Но, к счастью, все свойства произведения чисел на матрицы справедливы для всех классов матриц.

Вот свойства умножения скаляров и матриц:

Ассоциативное свойство:

$a \cdot (b \cdot A) = (a \cdot b) \cdot A$

Посмотрите на следующие две операции, поскольку они дают один и тот же результат независимо от того, как мы умножаем 2 и 3:

$\displaystyle 2 \cdot \left(3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} \right) =2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{12} & \bm{-6} \end{pmatrix}$

$\displaystyle (2 \cdot 3) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} =6 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{12} & \bm{-6} \end{pmatrix}$

Распределительное свойство относительно сложения скаляров:

$(a+b) \cdot A = a \cdot A+ b \cdot A$

Как вы можете видеть в примере ниже, это то же самое, если мы сначала сложим 1+2, а затем умножим его на матрицу, или если мы умножим матрицу отдельно на 1 и на 2, а затем сложим результаты:

$\displaystyle (1 + 2) \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix} =3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{9} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{-6} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

$\displaystyle 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5\\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 6 & 10 \\[1.1ex] -4 & -8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{9} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{-6} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

Распределительное свойство относительно сложения матриц:

$a \cdot \left(A + B \right) = a \cdot A + a \cdot B$

Другими словами, сложение двух математических матриц и последующее умножение их на число эквивалентно отдельному умножению двух матриц на одно и то же число с последующим сложением результатов. В примере ниже вы можете проверить:

$\displaystyle 4 \cdot \left( \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 6 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 4 \end{pmatrix} \right) =4 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 6 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{8} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{24} & \bm{12} \end{pmatrix}$

$\displaystyle 4 \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 6 & -1 \end{pmatrix}+ 4 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -8 \\[1.1ex] 24 & -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & 12 \\[1.1ex] 0 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{8} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{24} & \bm{12} \end{pmatrix}$

Свойство нейтрального элемента:

$1 \cdot A = A$

Следовательно, при умножении матрицы на 1 мы не изменяем матрицу:

$\displaystyle 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 & -4 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & -3 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{-4} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{3} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{9} & \bm{4} \end{pmatrix}$

Это все свойства произведения скаляра и матрицы, так что на этом статья заканчивается. Мы надеемся, что вам понравилось и, прежде всего, вы научились решать умножение чисел на матрицы.

С другой стороны, другие матричные операции, связанные с умножением и которые очень полезны, являются степенями. Здесь мы оставляем вам страницу, на которой вы узнаете, что это такое и как определить степень матрицы , если вам интересно.

Как умножить число на матрицу?

Пример:

Решенные задачи умножения числа на матрицу

Упражнение 1:

Упражнение 2:

Упражнение 3:

Упражнение 4:

Свойства произведения числа на матрицу

Оставьте комментарий Отменить ответ