Расстояние от линии до плоскости в пространстве

Здесь вы узнаете, как рассчитывается расстояние от линии до плоскости, а также сможете увидеть примеры и пошагово решаемые упражнения.

Каково расстояние между прямой и плоскостью?

В аналитической геометрии расстояние между линией и плоскостью в пространстве зависит от относительного положения между этими двумя геометрическими элементами:

Если линия включена в плоскость или если линия и плоскость параллельны , расстояние, разделяющее их, равно нулю.
Если линия параллельна плоскости , расстояние от линии до плоскости можно найти, взяв любую точку на линии и вычислив расстояние от этой точки до плоскости.

расстояние от линии до плоскости в пространстве

Поэтому для расчета расстояния от линии до плоскости важно знать, как определить относительное положение между линией и плоскостью и как рассчитать расстояние между точкой и плоскостью . Поэтому, если вам не совсем понятно или вы не знаете формулы, рекомендуем сначала просмотреть связанные страницы, где вы найдете пошаговые пояснения, примеры и решенные упражнения.

Пример расчета расстояния между линией и плоскостью

Чтобы вы увидели, как найти расстояние между прямой и плоскостью в пространстве (в R3), на примере решим задачу:

Как далеко находится линия
$r$

на самолете

$\pi$

?

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=-2+t \\[1.7ex] y=1-3t \\[1.7ex] z=-1+2t\end{cases}$

$\pi : \ 4x+2y+z-6=0$

Чтобы найти расстояние между линией и плоскостью, вы должны сначала знать относительное положение между ними.

С одной стороны, линия задается в виде параметрических уравнений, поэтому ее вектор направления и точка, через которую она проходит, равны:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}_r =(1,-3,2) \\[2ex] P(-2,1,-1) \end{cases}$

И, с другой стороны, вектор нормали к плоскости:

$\vv{n} =(4,2,1)$

Таким образом, чтобы определить взаимное положение плоскости и линии, необходимо вычислить скалярное произведение вектора направления линии и вектора нормали к плоскости:

$\begin{aligned} \vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n} & = (1,-3,2) \cdot (4,2,1) \\[2ex] & = 1 \cdot 4-3 \cdot 2 +2\cdot 1 \\[2ex] &= 4 -6 +2 \\[2ex] & = 0\end{aligned}$

Результат скалярного произведения равен нулю, поэтому линия может находиться только в плоскости или быть параллельной ей. Итак, чтобы выяснить, какой это случай, подставим декартовы координаты точки на прямой в уравнение плоскости:

$4x+2y+z-6=0 \ \xrightarrow{P(-2,1,-1)} \ 4\cdot (-2) +2\cdot 1 -1-6= 0$

$-8+2-1-6 = 0$

$-13 \neq 0$

Подставляя точку прямой в уравнение плоскости, мы получаем неравенство, следовательно, точка не подчиняется уравнению плоскости и, следовательно, прямая и плоскость параллельны.

Зная, что линия и плоскость параллельны, мы можем вычислить геометрическое расстояние между ними. Для этого мы берем точку на прямой и вычисляем расстояние от этой точки до плоскости.

$P(-2,1,-1) \qquad \qquad \pi: \ 4x+2y+z-6=0$

Итак, воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Теперь подставим значение каждого неизвестного в формулу:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 4\cdot (-2)+2\cdot 1+1\cdot (-1)-6\rvert}{\sqrt{4^2+2^2+1^2}}$

И, наконец, выполняем операции:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -8+2-1-6\rvert}{\sqrt{16+4+1}}$

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -13\rvert}{\sqrt{21}}$

$d(P,\pi) = \cfrac{13}{\sqrt{21}}$

Чтобы расстояние между линией и плоскостью было эквивалентно расстоянию между точкой и плоскостью, рассчитанному:

$\bm{d(r,\pi)=d(P,\pi) = }\cfrac{\bm{13}}{\bm{\sqrt{21}}}$

Очевидно, что расстояние всегда должно давать нам положительное значение, потому что расстояния всегда положительны. Если мы получим отрицательный результат, значит, мы допустили ошибку при совершении шага.

Каково расстояние между прямой и плоскостью?

Пример расчета расстояния между линией и плоскостью

Оставьте комментарий Отменить ответ