Линия: определение, характеристики, виды, уравнение…; -Маторство

Объяснение всего, что касается линии: что это такое, какие существуют типы, как выразить линию математически (уравнения), каково взаимное расположение линий, как рассчитать угол между двумя линиями, интерпретация линии. наклон линии,….

Что такое линия?

Математическое определение линии следующее:

Линия — это бесконечный набор последовательных точек, которые представлены в одном направлении без кривых или углов.

С другой стороны, линия соответствует минимально возможному расстоянию между двумя разными точками.

Кроме того, линия — это линия, продолжающаяся в одном направлении, поэтому она имеет только одно измерение.

Типы линий

Мы только что рассмотрели, что такое линии, но вы должны знать, что существует более одного типа линий, каждый из которых имеет свои особенности. Таким образом, линии можно классифицировать следующим образом:

Параллельные линии

Параллельные линии — это линии, которые никогда не пересекаются, то есть, даже если их траектории простираются до бесконечности, они никогда не касаются друг друга. Следовательно, точки двух параллельных прямых всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и, более того, две параллельные прямые не имеют общих точек.

пересекающиеся линии

В математике две прямые пересекаются , когда они пересекаются только в одной точке. Следовательно, пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

Примером пересекающихся линий являются перпендикулярные линии , которые представляют собой линии, которые пересекаются в точке, образуя четыре равных прямых угла (90°).

Как вы хорошо знаете, перпендикулярные линии очень важны и поэтому у нас есть страница с объяснением всего, что вам нужно знать об этом типе линий: когда две линии перпендикулярны, как вычислить линию, перпендикулярную друг другу, примеры и решаемые упражнения на перпендикулярных линиях и многое другое. Поэтому я оставляю вам страницу перпендикулярности между линиями на случай, если вы захотите узнать больше.

С другой стороны, линии, которые пересекаются, но не пересекаются, образуя угол 90°, но другой угол, называются косыми линиями .

совпадающие линии

Две совпадающие прямые – это две прямые, у которых все точки общие. Следовательно, две совпадающие линии совершенно идентичны.

Рэй

Полулинией называется каждая из двух частей, на которые линия делится путем разрезания ее в одной из ее точек.

Например, предыдущую линию можно разделить точкой А, образовав таким образом полулинии.

$s$

$t.$

Уравнение линии

В аналитической геометрии, чтобы выразить любую линию аналитически, мы используем уравнения линии . А чтобы найти уравнение линии, будь то в плоскости (в R2) или в пространстве (в R3), достаточно лишь точки, принадлежащей этой прямой, и вектора направления этой линии.

Как видно на графическом представлении предыдущей строки, строки именуются строчной буквой, в данном случае

$r.$

Существует несколько типов уравнений прямой. Все типы уравнений линий преследуют одну и ту же цель: математически представить линию. Но каждое уравнение линии имеет свои свойства и поэтому в зависимости от задачи лучше использовать то или другое. Ниже приведены формулы для всех уравнений линии.

Векторное уравнение линии

Ага

$\vv{\text{v}}$

— вектор направления линии и

$P$

точка, принадлежащая правому:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Формула векторного уравнения линии :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, образующей часть линии

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

— скаляр (действительное число), значение которого зависит от каждой точки прямой.

Параметрические уравнения линии

Формула параметрического уравнения линии имеет следующий вид:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, образующей часть линии

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

— скаляр (действительное число), значение которого зависит от каждой точки прямой.

Непрерывное уравнение линии

Формула непрерывного уравнения линии :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, образующей часть линии

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

Неявное или общее уравнение линии

Ага

$\vv{\text{v}}$

— вектор направления линии и

$P$

точка, принадлежащая правому:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Формула неявного, общего или декартова уравнения линии :

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
коэффициент
$A$

– вторая составляющая вектора направления линии:

$A=\text{v}_2}$
коэффициент
$B$

– первая составляющая измененного знака вектора направления:

$B=-\text{v}_1}$
коэффициент
$C$

рассчитывается путем замены известной точки

$P$

в уравнении прямой.

формулу неявного уравнения прямой можно получить и перемножением дробей непрерывного уравнения.

Явное уравнение линии

Формула явного уравнения линии :

Золото:

$m$

это наклон линии.
$n$

его точка пересечения по оси Y, то есть высота, на которой он пересекает ось Y.

В этом конкретном случае другой способ вычисления явного уравнения — использовать неявное уравнение; Для этого просто удалите переменную

$y$

неявного уравнения.

Уравнение точки-наклона линии

Формула уравнения точки-наклона линии выглядит следующим образом:

Золото:

$m$

это наклон линии.
$P_1, P_2$

это координаты точки на прямой

$P(P_1,P_2).$

Каноническое или сегментное уравнение линии

Хотя этот вариант уравнения линии менее известен, каноническое уравнение линии можно получить из точек пересечения линии с декартовыми осями.

Пусть две точки пересечения с осями данной прямой будут:

Разрезать по оси X:

$(a,0)$

Разрез по оси Y:

$(0,b)$

Формула канонического уравнения линии :

Мы только что рассмотрели формулы для всех уравнений прямой, но если вы хотите, вы можете пойти глубже и попрактиковаться с упражнениями по уравнениям прямой . Кроме того, на этой странице вы увидите более подробное объяснение однолинейных уравнений и примеры расчета всех типов однолинейных уравнений.

Значение наклона линии

Имея всю приведенную выше информацию, мы уже полностью знаем, как выглядит уравнение прямой и что один из способов описания линии — это ее наклон. Но на самом деле… что означает наклон линии?

Наклон линии указывает на вертикальные единицы, на которые линия поднимается для каждой горизонтальной единицы графика.

Например, в представлении следующей линии вы можете видеть, что она продвигается на 2 вертикальных единицы за каждую горизонтальную единицу, поскольку ее наклон равен 2.

Кроме того, наклон линии также указывает на ее крутизну:

Если линия увеличивается (поднимается), ее наклон положителен.
Если линия убывает (нисходящая), ее наклон отрицательный.
Если линия полностью горизонтальна, ее наклон равен 0.
Если линия полностью вертикальна, ее наклон равен бесконечности.

наклон положительной или отрицательной линии

Взаимное положение двух линий на плоскости

При работе с двумя измерениями (в R2) существует 3 типа возможных относительных положений между двумя линиями:

пересекающиеся линии

относительное положение двух пересекающихся линий

Две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

Параллельные линии

относительное положение параллельных линий

Две прямые параллельны, если они не имеют общей точки. Это если их пути никогда не пересекутся.

совпадающие линии

относительное положение совпадающих линий

Две прямые называются одинаковыми, если все их точки общие.

С другой стороны, угол между двумя линиями на плоскости также зависит от их взаимного положения:

Пересекающиеся линии пересекаются под углом от 0° (не входит в комплект) до 90° (включительно). Кроме того, если они образуют прямой угол 90°, это означает, что две линии перпендикулярны.
Параллельные линии образуют угол 0°, так как имеют одинаковое направление.
И по той же причине совпадающие линии также составляют между собой угол 0°.

Угол между двумя линиями

Существует несколько методов расчета угла между двумя линиями, некоторые из них довольно сложны, поэтому мы объясним самый простой способ определения угла между двумя линиями.

Формула для расчета угла между двумя линиями с использованием их векторов направления:

Учитывая векторы направления двух разных линий:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Угол между этими двумя линиями можно рассчитать по следующей формуле:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

Золото

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

являются модулями векторов

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

соответственно.

Помните, что формула величины вектора:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

Очевидно, что после того, как мы вычислили косинус угла, образованного двумя линиями, с помощью формулы, мы должны обратить косинус, чтобы узнать значение угла.

Линия: определение, характеристики, виды, уравнения…

Что такое линия?

Типы линий

Параллельные линии

пересекающиеся линии

совпадающие линии

Рэй

Уравнение линии

Векторное уравнение линии

Параметрические уравнения линии

Непрерывное уравнение линии

Неявное или общее уравнение линии

Явное уравнение линии

Уравнение точки-наклона линии

Каноническое или сегментное уравнение линии

Значение наклона линии

Взаимное положение двух линий на плоскости

Угол между двумя линиями

Оставьте комментарий Отменить ответ