Расстояние между двумя плоскостями (формула)

На этой странице вы узнаете, как найти расстояние между двумя плоскостями. В частности, вы увидите два существующих метода и когда лучше использовать тот или иной. Кроме того, у вас есть примеры и решенные упражнения на расстояние между двумя плоскостями, чтобы вы могли хорошо это понять.

Как рассчитывается расстояние между двумя плоскостями?

Расстояние между двумя плоскостями в пространстве зависит от взаимного положения этих двух плоскостей:

Если две плоскости пересекаются или совпадают , расстояние между ними равно нулю, поскольку они пересекаются в одной точке.
Если две плоскости параллельны , расстояние между двумя плоскостями рассчитывается путем взятия точки на любой плоскости и вычисления расстояния между этой точкой и другой плоскостью.

Помните, что перпендикулярные плоскости — это разновидность пересекающихся плоскостей, поэтому расстояние между двумя перпендикулярными плоскостями также равно нулю.

Итак, чтобы вычислить расстояние между двумя плоскостями, вы должны сначала определить, каково относительное положение между ними, и, следовательно, важно знать , как найти относительное положение двух плоскостей . Если вам не совсем понятно, как это сделать, рекомендуем просмотреть ссылку, где вы найдете очень подробное объяснение, а также примеры и решенные упражнения.

Как рассчитать расстояние между двумя параллельными плоскостями

Две параллельные плоскости всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Следовательно, чтобы найти расстояние между двумя параллельными плоскостями, мы можем взять точку на одной из двух плоскостей и вычислить расстояние от этой точки до другой плоскости.

Итак, формула для расчета расстояния между двумя параллельными плоскостями:

Рассмотрим две параллельные плоскости, если задана точка на одной из плоскостей и общее (или неявное) уравнение другой плоскости:

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

Формула для нахождения расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через точку одной плоскости, и общее уравнение другой плоскости:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Это формула, используемая для нахождения расстояния между двумя параллельными плоскостями. Однако иногда мы можем использовать другой, еще более простой метод:

Коэффициенты А, В и С неявных (или общих) уравнений двух планов должны быть пропорциональны. Что ж, если в задаче мы находим две плоскости, коэффициенты которых A, B и C совершенно одинаковы, мы можем использовать другую формулу, не зная ни одной точки какой-либо плоскости:

Рассмотрим общие (или неявные) уравнения двух параллельных плоскостей с одинаковыми коэффициентами A, B и C :

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

Формула для нахождения расстояния между двумя параллельными плоскостями из общих уравнений двух плоскостей:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

В конечном счете, есть два способа найти расстояние между двумя параллельными плоскостями. Первый более полезен, когда мы знаем точку на одной из двух плоскостей. Однако, если мы знаем общее уравнение двух плоскостей, расстояние лучше рассчитывать по второй формуле.

Пример расчета расстояния между двумя параллельными плоскостями

В качестве примера мы рассчитаем расстояние между следующими двумя плоскостями:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

Сначала мы должны убедиться, что мы имеем дело с двумя параллельными плоскостями. Таким образом, все коэффициенты уравнений плоскости пропорциональны, за исключением независимых членов, поэтому фактически они представляют собой две параллельные плоскости.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

В этом случае члены А, В и С уравнений двух плоскостей не совпадают, но добиться этого можно, разделив все уравнение второй плоскости на два:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

Таким образом, уравнения двух плоскостей теперь уже имеют одинаковые коэффициенты A, B и C. Следовательно, мы можем легко вычислить расстояние между двумя плоскостями с помощью следующей формулы для расстояния между двумя параллельными плоскостями:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Подставляем значения и решаем операции:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

Так что расстояние между одной плоскостью и другой плоскостью равно единице.

Решение проблем с расстоянием между двумя плоскостями

Упражнение 1

Найдите расстояние между следующими двумя плоскостями:

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

посмотреть решение

Сначала мы должны убедиться, что мы имеем дело с двумя параллельными плоскостями. Все коэффициенты уравнений двух плоскостей пропорциональны, за исключением независимых членов, так что это действительно две параллельные плоскости.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

В этом случае расстояние между двумя плоскостями будем вычислять по прямой формуле, так как их коэффициенты А, В и С равны:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Итак, подставляем значения в формулу и выполняем операции:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

Упражнение 2

Рассчитайте расстояние между следующими двумя плоскостями:

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

посмотреть решение

Прежде всего, мы должны убедиться, что это две параллельные плоскости, чтобы определить расстояние, которое их разделяет. Для этого проверим пропорциональность между коэффициентами двух планов:

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

Но коэффициенты A, B и C двух плоскостей не пропорциональны, а только параметры A и B. Следовательно, две плоскости не параллельны, а пересекаются и, следовательно, расстояние между ними равно 0:

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

Упражнение 3

Найдите расстояние между следующими двумя параллельными плоскостями:

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

посмотреть решение

Плоскость переднего плана определяется в виде параметрических уравнений, поэтому, чтобы применить прямую формулу для расстояния между двумя параллельными плоскостями, нам сначала нужно преобразовать ее в форму общего уравнения, а это требует много вычислений и времени. Следовательно, будет быстрее, если мы возьмем точку на этой плоскости и вычислим расстояние от этой точки до другой плоскости.

Таким образом, координаты точки, принадлежащей плоскости π ₁ , соответствуют независимым членам каждого параметрического уравнения:

$P(3,-2,5)$