Неявное или общее (или декартово) уравнение прямой

На этой странице вы узнаете, как рассчитывается неявное уравнение линии, также называемое общим или декартовым уравнением линии. Кроме того, вы сможете увидеть различные примеры и даже попрактиковаться, выполняя упражнения по прямой, шаг за шагом.

Что такое неявное, общее или декартово уравнение прямой?

Помните, что математическое определение линии — это набор последовательных точек, которые представлены в одном направлении без кривых или углов.

Таким образом, неявное уравнение линии , также известное как общее или декартово уравнение , представляет собой способ математического выражения любой линии. Для этого все, что вам нужно, это вектор направления линии и точка, принадлежащая этой линии.

Формула неявного, общего или декартова уравнения линии

Ага

$\vv{\text{v}}$

— вектор направления линии и

$P$

точка, принадлежащая правому:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Формула неявного, общего или декартова уравнения линии :

$Ax+By+C=0$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
коэффициент
$A$

– вторая компонента вектора направления:

$A=\text{v}_2}$
коэффициент
$B$

– первая составляющая измененного знака вектора направления:

$B=-\text{v}_1}$
коэффициент
$C$

рассчитывается путем замены известной точки

$P$

в уравнении прямой.

общее или декартово неявное уравнение линии в пространстве (в R3)

С другой стороны, имейте в виду, что помимо неявного (или общего) уравнения существуют и другие способы аналитического выражения линии: векторное уравнение, параметрические уравнения, непрерывное уравнение, явное уравнение и уравнение точечного наклона Алина. О том, что представляет собой каждый из них, вы можете узнать на нашем сайте.

Пример расчета неявного, общего или декартова уравнения линии

Просто взглянув на формулу, может показаться, что такое уравнение линии найти немного сложно. Но чтобы вы могли видеть, что все как раз наоборот, мы посмотрим, как найти общее (или неявное) уравнение линии на примере:

Найдите неявное уравнение прямой, проходящей через точку
$P$

и имеет

$\vv{\text{v}}$

как направляющий вектор:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

Как мы видели в разделе выше, формула неявного уравнения линии имеет вид:

$Ax+By+C=0$

Поэтому мы должны найти коэффициенты A, B и C. Неизвестные A и B получаются из координат вектора направления прямой, поскольку всегда проверяется следующее равенство:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Следовательно, коэффициент А является второй координатой вектора, а коэффициент В — первой координатой вектора с измененным знаком:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

Таким образом, неявное уравнение линии будет иметь следующий вид:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

Поэтому нам нужно найти только коэффициент C. Для этого мы должны подставить в ее уравнение точку, которая, как мы знаем, принадлежит прямой:

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

И теперь решаем полученное уравнение:

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

Итак, неявное, общее или декартово уравнение линии:

$\bm{3x-2y-17=0}$

Найдите неявное уравнение (общее или декартово) из непрерывного уравнения

Мы только что увидели способ найти общее уравнение прямой. Однако есть другой метод, основанный на непрерывном уравнении. Давайте посмотрим, как это делается на примере:

Вычислите общее (или неявное) уравнение следующей линии, определяемой ее непрерывным уравнением:

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

Сначала перемножаем дроби:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

Во-вторых, мы решаем круглые скобки, используя распределительное свойство:

$6x-6=-2y-8$

Далее переместим все члены в левую часть уравнения:

$6x-6+2y+8=0$

И, наконец, сгруппируем члены и получим общее уравнение линии:

$\bm{6x+2y+2=0}$

Решенные задачи неявного или общего (или декартова) уравнения

Упражнение 1

Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку

$P$

и имеет

$\vv{\text{v}}$

как направляющий вектор:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

посмотреть решение

Формула общего уравнения линии:

$Ax+By+C=0$

Поэтому мы должны найти A, B и C. Переменные A и B получаются из координат вектора направления прямой, поскольку всегда проверяется следующее равенство:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

Таким образом, неявное уравнение линии будет иметь следующий вид:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

Поэтому нам нужно найти только коэффициент C. Для этого нам нужно подставить точку, которая, как мы знаем, принадлежит прямой, в уравнение прямой и решить полученное уравнение:

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

Короче говоря, неявное, общее или декартово уравнение линии:

$\bm{2x+y-8=0}$

Упражнение 2

Рассчитайте декартово уравнение следующей линии:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

посмотреть решение

Уравнение выражается в виде непрерывного уравнения, поэтому, чтобы найти подразумеваемое уравнение, нам нужно скрестить дроби и поместить все члены в одну часть уравнения:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

Упражнение 3

Определите точку на следующей прямой и ее вектор направления. Линия выражается своим общим уравнением:

$-x-3y+6= 0$

посмотреть решение

Компоненты вектора направления линии можно получить из коэффициентов А и В общего уравнения линии: первая компонента вектора соответствует коэффициенту В с измененным знаком, а вторая компонента вектора равна коэффициент А. ТАК:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

С другой стороны, чтобы вычислить точку на линии, необходимо присвоить значение переменной. Например, мы делаем

$x=0$

и решаем полученное уравнение:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

Итак, суть линии:

$\bm{P(0,2)}$

Возможно, вы получили другую оценку, потому что это зависит от того, какое значение вы присвоите переменной X (или переменной Y), но если вы следовали той же процедуре, это тоже правильно. С другой стороны, вектор направления линии должен быть идентичен расчетному.

Упражнение 4

Найдите неявное уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

посмотреть решение

В этом случае мы не знаем вектор направления линии, поэтому нам сначала нужно найти ее вектор направления, а затем уравнение линии.

Чтобы найти вектор направления линии, просто вычислите вектор, определяемый двумя заданными точками:

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

И как только мы узнаем вектор направления линии, мы теперь можем определить его неявное (или общее, или декартово) уравнение по его формуле:

$Ax+By+C=0$

Неизвестные А и В получаются из координат вектора направления прямой, так как коэффициент А является второй координатой вектора, а коэффициент В — первой координатой вектора с измененным знаком:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

Таким образом, неявное уравнение линии будет иметь следующий вид:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

Поэтому достаточно найти коэффициент С. Для этого мы должны подставить в уравнение линии точку, которая, как мы знаем, принадлежит линии, и решить полученное уравнение:

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Наконец, неявное, общее или декартово уравнение линии:

$\bm{4x+6y-10=0}$

Упражнение 5

Найдите неявное уравнение прямой, перпендикулярной прямой

$r$

и что происходит через точку

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

посмотреть решение

Две перпендикулярные прямые имеют векторы направления, ортогональные друг другу, поэтому нам нужно найти вектор направления прямой.

$r$

затем вектор, перпендикулярный ему.

Компоненты вектора направления прямой

$r$

Их можно получить из коэффициентов А и В общего уравнения линии: первая компонента вектора соответствует коэффициенту В с измененным знаком, а вторая компонента вектора равна коэффициенту А.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

Теперь нам нужно найти перпендикулярный вектор. Для этого просто вставьте координаты вектора и измените знак одного из них:

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

Следовательно, это будет вектор направления линии, перпендикулярной

$r.$

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$