На этой странице вы найдете значение нормализованного вектора и то, как нормализуется любой вектор, с несколькими примерами как в 2, так и в 3 измерениях. И, кроме того, вы найдете утилиты для нормализации вектора.
Что значит нормализовать вектор?
Нормализация вектора означает преобразование его в вектор того же направления и того же направления, но с модулем, равным 1. Другими словами, процесс нормализации вектора предполагает изменение его длины с сохранением его направления и направления.
Таким образом, нормализованный вектор в основном используется для указания направления и значения.
С другой стороны, когда вы нормализуете вектор, вы одновременно вычисляете и единичный вектор , поскольку единичным вектором является любой вектор, величина которого равна 1.
Формула нормализации вектора
Чтобы нормализовать вектор, каждую из компонент вектора необходимо разделить на свой модуль:
Золото
— нормированный вектор
Пример нормализации вектора в R2
В качестве примера мы нормализуем следующий двумерный вектор:
Сначала нам нужно вычислить модуль (или амплитуду) вектора. Если вы не помните, как это сделать, вы можете посмотреть формулу величины вектора здесь. Итак, мы используем эту формулу:
А затем делим вектор на его модуль, чтобы получить нормализованный вектор:
Обычно, когда вектор нормализуется, он остается дробью, но вы можете без проблем преобразовать его в десятичную дробь.
Пример нормализации вектора в R3
Итак, вы можете увидеть еще один пример: мы нормализуем следующий трехмерный вектор:
Сначала вычисляем величину вектора:
И, наконец, делим вектор на его модуль, чтобы его нормализовать:
В чем смысл нормализации вектора?
Увидеть применение векторной нормализации непросто, может даже показаться, что нормализованный вектор хуже «нормального» вектора, потому что у них часто есть дроби и с дробями сложнее работать.
Однако некоторые векторные операции значительно упрощаются, если используются нормализованные векторы. Например, найти угол между двумя векторами проще, если оба они имеют модуль (или величину), равный единице. Более того, угол, образованный двумя векторами, зависит не от их длины, а от их направления, поэтому вполне возможно сначала нормализовать два вектора, а затем найти угол, который они образуют.
Если вас больше интересует, как рассчитывается угол между двумя векторами и почему это проще сделать с нормализованными векторами, вы можете посетить страницу угла между двумя векторами . Здесь вы найдете все пояснения, а также примеры и решенные упражнения.
Эта характеристика нормализованных векторов очень полезна на вычислительном уровне. Поскольку время, которое вы экономите на выполнении одной векторной операции, действительно невелико. Но если необходимо выполнить десятки тысяч операций, как это может быть в случае с компьютером, экономия времени будет значительной.
Наконец, обычно используемые векторные базы являются ортонормированными, поскольку с их помощью легче выразить координаты вектора и, кроме того, они облегчают многие вычисления с матрицами в линейной алгебре. Ну, все векторы этого типа оснований являются нормализованными векторами. Например, декартова система координат является ортонормированным базисом.
В заключение, нормализованные векторы не являются строго необходимыми, поскольку все операции между векторами можно выполнять и без них, но они значительно облегчают вычисления.