Вычислите скалярное произведение двух векторов

На этой странице вы увидите, что это такое и как вычислить скалярное произведение двух векторов. Вы также узнаете, как найти угол между двумя векторами, используя скалярное произведение и, кроме того, все свойства скалярного произведения. Наконец, вы сможете попрактиковаться на примерах и упражнениях, решаемых шаг за шагом.

Как вычислить скалярное произведение двух векторов

В математике скалярное произведение — это векторная операция, которая умножает два вектора и преобразует их в действительное число. Итак, есть два способа вычислить скалярное произведение двух векторов:

Если мы знаем координаты двух векторов, мы можем найти их скалярное произведение, умножив компоненты X и Y, а затем сложив результаты. Другими словами, если у нас есть два вектора:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Скалярное произведение между ними:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

Например, скалярное произведение следующих двух векторов:

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

Это способ найти скалярное произведение между двумя векторами. Однако есть и другой метод:

С другой стороны, если мы знаем модуль и угол между двумя векторами, скалярное произведение между двумя векторами можно определить, вычислив произведение их модулей на косинус угла, который они образуют:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Золото

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

являются модулями векторов

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

соответственно и

$\alpha$

угол, который они образуют.

Напомним, что величина вектора равна корню квадратов его составляющих:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

В качестве примера мы решим скалярное произведение двух векторов, модули и угол между которыми равны:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

С другой стороны, скалярное произведение также называют скалярным произведением, скалярным произведением или скалярным произведением.

Примечание. Не путайте скалярное произведение с перекрестным произведением, поскольку, хотя они и имеют схожие названия, это совершенно разные концепции.

Найдите угол между двумя векторами, используя скалярное произведение

Как только мы увидим определение скалярного произведения, у вас может возникнуть вопрос, какова цель умножения двух векторов? Ну, одно из применений скалярного произведения — вычисление угла, образованного двумя векторами.

угол между двумя векторами скалярного произведения

Решая косинус формулы скалярного произведения, получаем:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

Давайте посмотрим, как это делается, на примере:

Найдите угол между следующими двумя векторами:

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

Сначала нам нужно найти величины двух векторов:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Теперь воспользуемся формулой для расчета косинуса угла между двумя векторами:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

Наконец, мы находим соответствующий угол, выполнив обратный косинус с помощью калькулятора:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

Следовательно, векторы образуют угол 74,93 градуса.

Свойства скалярного произведения двух векторов

Скалярное произведение имеет следующие характеристики:

Коммутативное свойство : порядок умножения векторов не имеет значения.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

Распределительное свойство : скалярное произведение является распределительным относительно сложения и вычитания векторов:

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

Ассоциативное свойство : мы можем умножить скалярное произведение на константу до или после выполнения операции, поскольку результаты эквивалентны:

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

Если два вектора ортогональны (или перпендикулярны), то их скалярное произведение равно нулю. Это свойство легко продемонстрировать, поскольку два перпендикулярных вектора составляют угол 90°, а косинус 90° равен 0:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

Напротив, если два вектора параллельны , то их скалярное произведение равно произведению их модулей. Это свойство также легко проверить, поскольку два вектора одного направления образуют угол 0°, косинус которого равен 1:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

Наконец, скалярное произведение вектора само по себе эквивалентно квадрату его величины:

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

Решены задачи скалярного произведения между двумя векторами

Упражнение 1

Вычислите скалярное произведение в плоскости следующих двух векторов:

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

посмотреть решение

Чтобы вычислить скалярное произведение двух векторов, нам нужно перемножить их координаты X и координаты Y, а затем сложить результаты:

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

Упражнение 2

Определите скалярное произведение двух векторов, модули которых и образуемый ими угол равны:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

посмотреть решение

Поскольку мы знаем их модули и угол между ними, мы можем напрямую применить формулу скалярного произведения:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

Упражнение 3

Каков угол между следующими двумя векторами?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

посмотреть решение

Сначала нам нужно вычислить величину двух векторов:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

Используем формулу для расчета косинуса угла, образованного векторами:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

И, наконец, находим соответствующий угол, выполнив на калькуляторе обратный косинус:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

Упражнение 4

Рассмотрим следующие два вектора:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

Вычислите следующую операцию:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

посмотреть решение

Сначала нам нужно найти скалярное произведение внутри круглых скобок, а затем выполнить умножение на скалярное произведение снаружи:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

Упражнение 5

Даны следующие три двумерных вектора:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

Вычислите следующую операцию:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

посмотреть решение

Сначала умножим векторы на скаляры в скобках:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

Теперь делаем вычитание вектора:

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

И, наконец, решаем скалярное произведение:

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

Упражнение 6

Рассчитайте стоимость

$k$

так что следующие векторы перпендикулярны:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

посмотреть решение

Два перпендикулярных вектора образуют угол 90°. Следовательно, косинус угла должен быть равен нулю, поскольку cos(90º)=0. Еще:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Знаменатель дроби делит всю правую часть уравнения, поэтому мы можем передать его, умножив другую часть:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Теперь решаем скалярное произведение:

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

И, наконец, проясняем неизвестное:

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

Упражнение 7

Рассчитать углы

$\alpha , \beta$

$\gamma$

которые образуют стороны следующего треугольника:

упражнения и задачи, решаемые шаг за шагом скалярного произведения двух векторов

посмотреть решение

Вершинами, составляющими треугольник, являются следующие точки:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Чтобы вычислить внутренние углы треугольника, мы можем вычислить векторы каждой из его сторон, а затем найти угол, который они образуют, используя формулу скалярного произведения.

Например, чтобы найти угол

$\alpha$

Вычисляем векторы его сторон:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

И мы находим угол, образованный двумя векторами, используя формулу скалярного произведения:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Теперь повторяем ту же процедуру для определения угла

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Наконец, чтобы найти последний угол, мы можем повторить ту же процедуру. Однако сумма всех углов треугольника должна составлять 180 градусов, поэтому:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Вычислить скалярное произведение двух векторов

Как вычислить скалярное произведение двух векторов

Найдите угол между двумя векторами, используя скалярное произведение

Свойства скалярного произведения двух векторов

Решены задачи скалярного произведения между двумя векторами

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Упражнение 6

Упражнение 7

Оставьте комментарий Отменить ответ