▷ Решить нулевую неопределенность между нулем (0/0)

В этой статье мы объясним, как сохранить предел функции, когда она дает неопределенность 0/0. Кроме того, вы сможете попрактиковаться с решенными упражнениями на неопределенность нуля между нулями.

Как решить нулевую неопределенность между нулем (0/0)

Затем мы увидим, как вычислить предел функции, когда она дает нулевую неопределенность между нулем (0/0). Для этого пошагово рассчитаем пример:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}$

Сначала мы попытаемся вычислить предел, подставив значение x в функцию:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x -2}{x^2-3x+2}=\frac{2^2 -2-2}{2^2-3\cdot 2+2}=\frac{0}{0}$

Но мы получаем неопределенность 0, разделенную на 0.

Когда предел точечной функции дает неопределенность 0/0 , необходимо факторизовать полиномы числителя и знаменателя, а затем упростить общие множители.

Поэтому мы должны факторизовать полиномы числителя и знаменателя дроби. Для этого воспользуемся правилом Руффини:

➤ Если вы не знаете , как факторизовать полином , рекомендуем посмотреть объяснение на нашем сайте, специализирующемся на полиномах: www.polinomios.org

Таким образом, после факторизации полиномов предел будет следующим:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

Теперь мы можем упростить предел, исключив множители, повторяющиеся в числителе и знаменателе дроби:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{(x+1)\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}}=\lim_{x \to 2} \cfrac{(x+1)}{(x-1)}$

И наконец, пересчитываем лимит:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{x+1}{x-1}=\cfrac{2+1}{2-1}=\cfrac{3}{1}=\bm{3}$

Как видите, если мы факторизуем и упрощаем многочлены, то найти решение в пределе очень легко.

Неопределенность 0/0 с корнями

Мы только что видели, как разрешаются неопределенности 0/0 рациональных функций. Однако, если предел имеет иррациональную (или радикальную) функцию, неопределенность 0/0 разрешается иначе.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

Сначала мы пытаемся разрешить лимит, выполнив следующие операции:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{1-1}{\sqrt{1}-1}=\frac{0}{0}$

Но мы получаем нулевую неопределенность.

Если предел функции с корнями дает неопределенность 0/0 , необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное подкоренное выражение.

➤ Помните, что сопряженное — это то же иррациональное выражение, но с измененным средним знаком.

Далее умножаем числитель и знаменатель дроби на сопряженное подкоренное выражение:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}$

В рамках этого типа ограничений, выполняя этот шаг, мы всегда получим заметную идентичность, которую можно упростить. В данном случае в знаменателе мы имеем произведение суммы и разности, следовательно:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}$

Упростим множитель, который повторяется в числителе и знаменателе:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\cancel{\left(x-1\right)}\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\cancel{x-1}}=\lim_{x \to 1}\left(\sqrt{x}+1\right)$

И таким образом мы можем найти результат предела:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\sqrt{x}+1\right)=\sqrt{1}+1=2$

Решенные упражнения на неопределенность 0/0

Ниже мы подготовили несколько пошаговых упражнений на пределы функций, дающих неопределенности 0/0. Вы можете попробовать выполнить их, а затем проверить решение.

Не забывайте, что любые вопросы по поводу разрешения лимитов вы можете задать нам в комментариях!

Упражнение 1

Вычислите предел следующей рациональной функции в точке x=-2.

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}$

Посмотреть решение

Логично, что сначала мы пытаемся решить предел:

$\displaystyle\lim_{x \to -2} \frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}=\frac{(-2)^2+2\cdot (-2)}{(-2)^2-(-2)-6}=\frac{4-4}{4+2-6}=\frac{0}{0}$

Но в итоге мы получаем неопределенность 0/0. Поэтому мы должны факторизовать полиномы числителя и знаменателя:

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}=\lim_{x \to -2}\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-3)}$

Теперь упростим дробь, убрав круглые скобки, повторяющиеся в числителе и знаменателе:

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+2)}(x-3)}=\lim_{x \to -2}\frac{x}{x-3}$

И, наконец, пересчитываем предел с помощью упрощенной дроби:

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x}{x-3}=\cfrac{-2}{-2-3}=\cfrac{-2}{-5}=\mathbf{\cfrac{2}{5}}$

Упражнение 2

Решите предел следующей функции, когда x приближается к -1:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}$

Посмотреть решение

Сначала мы пытаемся разрешить лимит как обычно:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}=\frac{(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2}{(-1)^3-5(-1)^2+2(-1)+8} =\frac{0}{0}$

Но мы получаем неопределенность 0 между 0. Поэтому мы должны факторизовать 2 многочлена дроби:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x-4)}$

Теперь мы можем упростить полиномы:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)\cancel{(x+1)}(x+2)}{\cancel{(x+1)}(x-2)(x-4)}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x-4)}$

И решаем предел:

$\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x-4)}=\frac{ (-1-1)(-1+2)}{(-1-2)(-1-4)}=\frac{(-2)\cdot (1)}{(-3)\cdot (-5)}=\frac{\bm{-2}}{\bm{15}}$

Упражнение 3

Определите решение предела следующей радикальной функции:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{2-\sqrt{2x}}$

Посмотреть решение

Сначала проверяем, дает ли предел какую-то неопределенность:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{2-\sqrt{2x}}=\frac{2^2-3\cdot2+2}{2-\sqrt{2\cdot 2}}=\frac{4-6+2}{2-2}=\frac{0}{0}$

Предел дает ноль неопределенности, разделенный на ноль, и мы имеем корень в функции. Поэтому мы должны умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное радикальное выражение:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{\left(2-\sqrt{2x}\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}$

Знаменатель соответствует развитию заметной идентичности произведения суммы и разности, поэтому мы можем его упростить:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{2^2-\left(\sqrt{2x}\right)^2}$

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{4-2x}$

Однако мы пока не можем упростить условия дроби. Поэтому мы должны факторизовать полиномы:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{4-2x}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)(x-2)\cdot\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2(x-2)}$

Таким образом, мы можем упростить дробь:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\cancel{(x-2)}\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2\cancel{(x-2)}}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2}$

И теперь мы можем определить результат лимита:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2}=\frac{(2-1)\left(2+\sqrt{2\cdot 2}\right)}{-2}=\frac{1\cdot (2+2)}{-2}=\bm{-2}$

Упражнение 4

Рассчитайте предел следующей радикальной функции при приближении x к 0:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+6x}{3-\sqrt{4x+9}}$

Посмотреть решение

Сначала попытаемся вычислить предел функции, как мы всегда это делаем:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+6x}{3-\sqrt{4x+9}}=\frac{0+0}{3-\sqrt{4\cdot 0+9}}=\frac{0}{3-3}=\frac{0}{0}$

Но мы получаем неопределенную форму 0/0. Поэтому умножаем числитель и знаменатель функции на сопряженное иррациональному выражению:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{\left(3-\sqrt{4x+9}\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}$

Мы применяем соответствующую примечательную формулу тождества, чтобы упростить знаменатель:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{3^2-\left(\sqrt{4x+9}\right)^2}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{9-(4x+9)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}$

Теперь факторизуем бином числителя, взяв общий множитель:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}=\lim_{x\to 0}\frac{\bigl[x(x+6)\bigr]\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}$

Упростим множители, которые повторяются в числителе и знаменателе функции:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cancel{x}\left(x+6\right)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4\cancel{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{(x+6)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4}$

И, наконец, решаем предел функции:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x+6)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4}=\\[3ex]\displaystyle=\frac{(0+6)\left(3+\sqrt{4\cdot 0+9}\right)}{-4}=\\[3ex]\displaystyle=\frac{6\cdot (3+3)}{-4}=\frac{36}{-4}=\bm{-9}\end{array}$

Упражнение 5

Решите следующий предел, используя метод неопределенности 0/0:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}$

➤ См.: как вычислить боковые пределы функции

Посмотреть решение

Сначала мы пытаемся разрешить предел:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}=\frac{(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2}{(-1)^3+5(-1)^2+7(-1)+3}=\frac{0}{0}$

Но в пределе мы получаем неопределенность нуль на нуле. Поэтому факторизуем многочлены числителя и знаменателя:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)^2(x+3)}$

Теперь упростим дробь, исключив множители, повторяющиеся в числителе и знаменателе:

$\displaystyle\lim_{x \to -1} \cfrac{(x-1)\cancel{(x+1)}(x+2)}{(x+1)^{\cancel{2}}(x+3)}=\lim_{x \to -1}\cfrac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}$

И снова вычисляем лимит:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)(-1+2)}{(-1+1)(-1+3)}=\frac{-2\cdot 1}{0 \cdot 2}=\frac{-2}{0} =\infty$

Но теперь мы столкнулись с неопределенностью числа, деленного на 0. Поэтому мы должны вычислить боковые пределы функции, когда x стремится к -1.

Сначала мы находим боковой предел функции в точке x=-1 слева:

$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)\cdot (-1+2)}{(-1+1)\cdot (-1+3)}=\frac{-2}{-0}=+\infty$

А затем вычисляем боковой предел функции в точке x=-1 справа:

$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)\cdot (-1+2)}{(-1+1)\cdot (-1+3)}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

Следовательно, поскольку два боковых предела не совпадают, предела функции при x=-1 не существует:

$\displaystyle\displaystyle \lim_{x \to -1^-}f(x)= +\infty\neq\lim_{x \to -1^+}f(x)=-\infty\ \bm{\longrightarrow} \ \cancel{\exists} \lim_{x \to -1} f(x)$

Нулевая неопределенность между нулем (0/0)

Как решить нулевую неопределенность между нулем (0/0)

Неопределенность 0/0 с корнями

Решенные упражнения на неопределенность 0/0

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Оставьте комментарий Отменить ответ