▷ Каковы свойства (или законы) пределов?

Здесь вы найдете все свойства (или законы) пределов функций. Эти свойства служат для упрощения вычислений пределов, особенно при работе с пределами с помощью функциональных операций.

Каковы свойства (или законы) пределов функций?

Далее мы объясним все свойства пределов функций, также называемых законами пределов функций. Кроме того, вы сможете увидеть решенные упражнения для каждого свойства пределов, чтобы вы могли полностью понять концепцию.

Свойство предела суммы

Предел суммы двух функций в точке равен сумме пределов каждой функции в этой же точке в отдельности.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

Например, предположим, что есть две функции:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Предел каждой функции при x, равном 1, равен:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

Следовательно, предел двух функций, сложенных в одной точке, дает 4 (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

Свойство можно доказать, вычислив предел шаг за шагом:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

Свойство предела вычитания

Предел вычитания (или разности) двух функций в точке эквивалентен вычитанию предела каждой функции в этой же точке отдельно.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

Используя функции из предыдущего примера:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Предел каждой функции в точке x=3 равен:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

Тогда предел двух функций, вычтенных при x=3, является разницей значений, полученных на предыдущем шаге:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

Мы можем доказать это свойство пределов, вычислив вычитание функций и затем найдя предел:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

Ограничить свойство продукта

Предел произведения двух функций в точке — это произведение предела каждой функции в этой точке.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Например, если у нас есть следующие две разные функции:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

Предел каждой функции при x=2 равен:

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

Таким образом, чтобы определить предел произведения двух функций, не обязательно перемножать их вместе, а достаточно перемножить результат, полученный от каждого предела:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

Это экономит нам время и вычисления, поскольку умножение двух функций может оказаться затруднительным.

Свойство предела частного

Предел частного (или деления) двух функций равен частному пределов функций.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Это условие выполняется до тех пор, пока предел функции знаменателя не равен нулю.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

Решим пример этого свойства (или закона) пределов. Рассмотрим функции f(x) и g(x):

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

Сначала мы вычисляем предел каждой функции при x=0:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

Таким образом, легко найти предел деления двух функций при x=0:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

В этом случае мы можем применить это свойство для решения предела, поскольку предел g(x) не равен нулю.

Свойство предела константы

Предел постоянной функции всегда приводит к самой константе, независимо от точки, в которой вычисляется предел.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

Это свойство очень просто проверить, например, если у нас есть следующая константная функция:

$f(x)=5$

Логично, что предел постоянной функции в любой точке равен 5:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

Свойство предела постоянного кратного

Из свойств предела произведения и предела константы можно вывести следующее свойство:

Предел функции, умноженной на константу, равен произведению указанной константы и предела функции.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

Обратите внимание, как мы упрощаем вычисление следующего предела, используя это свойство:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

Свойство предела мощности

Предел любой функции, возведенный в степень, эквивалентен вычислению предела функции и последующему возведению результата предела до этой степени.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

Например, предел линейной функции:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

Что ж, предел квадратичной функции можно вычислить, найдя предел линейной функции и затем возведя результат в квадрат:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

Свойство предела показательной функции

Предел показательной функции равен константе функции, возведенной к пределу алгебраического выражения функции.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

Затем мы вычислим предел показательной функции двумя возможными способами, чтобы проверить это свойство:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

Свойство предела степени функции

Предел функции, возведенной до другой функции, — это предел первой функции, возведенной до предела второй функции.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

В качестве примера мы определим следующий предел, применяя этот закон:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

Свойство предела иррациональной функции

Предел корня (или радикала) равен корню предела.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

Чтобы использовать это свойство, необходимо иметь в виду, что если корневой индекс четный, предел функции должен быть больше или равен 0:

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

Обратите внимание, как с помощью этой формулы был рассчитан следующий предел:

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

Свойство предела логарифмической функции

Предел логарифма эквивалентен тому же логарифму по основанию предела.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

Посмотрите на разрешение следующего предела, в котором мы применяем это свойство:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

Свойства (или законы) пределов