Этимологически кватернионы или кватернионы происходят от латинского quaterni . В переводе с испанского это слово переводится как «четыре». Однако его интерпретация означает «число четырех элементов».
Кватернионы — это элементы непермутантного поля, первоначально созданного Уильямом Роуэном Гамильтоном. Кватернионы определяются как расширение действительных чисел, составляющих гиперкомплексное число. На самом деле они очень похожи на комплексные числа .
То есть кватернионы возникают вследствие аналогично вызванного усиления. С другой стороны, комплексные числа получаются как расширение действительных чисел на сумму мнимой единицы i , поэтому i в квадрате равно -1. В первом случае к действительным числам добавляются мнимые единицы k , i и j .
Следовательно, в отношении кватернионов имеем следующее: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. Это представление соответствует представлениям, расположенным в таблице Кэли . Здесь стоит упомянуть, что i , j , k и 1 — четыре фундаментальных столпа кватернионов.
| × | 1 | Эй | дж | Что |
| 1 | 1 | Эй | дж | Что |
| Эй | Эй | -1 | Что | -j |
| дж | дж | -к | -1 | Эй |
| Что | Что | дж | -Эй | -1 |
Уильям Гамильтон изобрел кватернионы в 1843 году как метод, который позволил ему умножать и делить векторы, вращать их и растягивать.
Как создаются кватернионы?
Кватернионы образуют красивую алгебру, в которой каждый ее объект содержит 4 переменные . Фактически, их иногда называют параметрами Эйлера, и их не следует путать с углами Эйлера. Эти объекты можно складывать и умножать как единое целое, аналогично алгебре обычных чисел.
Однако есть разница. С математической точки зрения умножение кватернионов не является коммутативным.
Кватернионы имеют 4 измерения. Каждый кватернион состоит из 4 скалярных чисел , реального измерения и 3 мнимых измерений. Каждое из этих воображаемых измерений имеет единичное значение квадратного корня из -1. Однако это разные квадратные корни из -1, перпендикулярные друг другу, называемые i , j и k . Таким образом, кватернион можно представить следующим образом:
x = (a, b, c, d), что записывается x = a + bi + cj + dk
Соответственно, a, b, c и d представляют собой действительные числа, однозначно определенные каждым кватернионом. С другой стороны, числа 1, i , j и k являются основными. Если мы хотим представить кватернионы с помощью набора, мы можем сделать следующее: Предполагая, что IR 4 представляет набор, выражение имеет вид: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
Этот набор соответствует реальному четырехмерному пространству. Точно так же, как набор действительных чисел соответствует пространству, существующему в одном измерении, а набор комплексных чисел соответствует пространству в двух измерениях.
Какова алгебраическая структура кватернионов?
Кватернион иллюстрирует тело неправильной формы . Это означает, что это алгебраическая структура, подобная полю. Однако оно не коммутативно при умножении. Другими словами, оно реализует все качества тела, но его результат не коммутативен.
Умножение кватернионов ассоциативно. Кроме того, каждый ненулевой кватернион имеет уникальный обратный . Кватернионы не представляют собой ассоциативную алгебру по сравнению с комплексными числами.
Наконец, точно так же, как комплексные числа и действительные числа представляют размеры евклидовых векторов единичных или двойных пространств, кватернионы создают четырехмерную область евклидовых векторов.
Как кватернионы представляются в матрицах?
Матричные представления также характерны для кватернионов. В этом случае для его выражения применяются математические матрицы. Например, если у нас есть кватернион p = a + bi + cj + dk, его можно представить в комплексной матрице 2 x 2 следующим образом:
Другой способ использования матричных представлений в кватернионах — это использование реальных матриц 4 x 4 . Кроме того, используя матрицы для представления кватернионов, их можно выразить как внутренний продукт двух векторов. Таким образом, один компонент будет: = (a1, a2, a3, a4), а другой — {1, i, j, k }.
В этом случае элемент a 1 , порождающий действительную компоненту, записывается отдельно. Кроме того, для скалярного произведения учитываются только три основания i, j, k :
х = (а1, а) = (а1, а2, а3, а4)
Какие основные операции можно выполнять с кватернионами?
Чтобы сложить и получить произведение одного кватерниона на другой, применяется арифметика комплексных чисел. Это работает так же, как и в случае с предыдущим набором IR 4 . То есть указанный набор плюс остальные операции компенсируют все качества тела. Единственное, что имеет значение в этом случае, это то, что продукт не перемещается.
В случае добавления оно осуществляется повременно. В любом случае это работает так же, как и комплексные числа. Это сказать:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
Для продукта он применяется от компонента к компоненту . Согласно этому, это выглядит так:
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
Как мы уже отмечали ранее, произведение кватернионов никогда не является коммутативным. Напротив, оно всегда ассоциативно . Разработанные ранее операции можно выполнить путем замены представлений.
Каковы применения кватернионов?
Кватернион выходит далеко за рамки математического исследования. В настоящее время они имеют различные применения. Во-первых, они используются для проверки ответов по теории чисел . Примером этого является теорема Лагранжа, которая утверждает, что любое натуральное число выражается как сумма четырех полных квадратов.
С другой стороны, у него есть приложения в области физики. Кватернионы очень полезны для квантовой механики, электромагнетизма и многого другого.