Функции абсолютного значения

На этой странице объясняется, что такое функция абсолютного значения. Вы также узнаете, как определить кусочную функцию абсолютного значения и как представить эти типы функций на графике. Кроме того, вы увидите это на примерах функций абсолютных значений и сможете попрактиковаться, выполняя упражнения и решая задачи шаг за шагом.

Что такое абсолютнозначные функции?

Определение функции абсолютного значения следующее:

Следующая функция является примером функции абсолютного значения:

Если при вычислении функции в точке получен положительный результат, он остается положительным:

С другой стороны, если результат отрицательный, он становится положительным:

Функции абсолютного значения обычно изучают в старших классах школы, поскольку их характеристики затрудняют понимание.

Как кусочно определить функцию с абсолютным значением

Давайте посмотрим пример того, как перейти от функции абсолютного значения к кусочной функции:

• Выразите следующую функцию с абсолютным значением как кусочную функцию:

Первое, что нам нужно сделать, это определить, когда функция отрицательна. Для этого присвоим алгебраическому выражению по модулю равную 0 и решим уравнение:

Теперь представляем полученные значения в строке:

И смотрим, какой знак имеет функция без абсолютного значения в каждом интервале строки:

Как мы видели, функция без абсолютного значения была бы отрицательной на интервалах

И

. Но вы можете поместить его в любой интервал, который вам нужен, при условии, что во всех критических точках существует равенство. Другими словами, было бы то же самое, если бы мы определили функцию следующим образом:

Как представить функцию с абсолютным значением

Давайте посмотрим пример того, как построить график функции с абсолютным значением.

• Постройте график следующей функции в абсолютном значении:

Чтобы представить функцию с абсолютным значением, мы должны сначала представить функцию без абсолютного значения. Поэтому составляем таблицу значений функции без абсолютного значения:

Мы наносим точки на график и рисуем линию, как если бы это была обычная функция:

Теперь нам нужно нарисовать симметричную функцию там, где функция отрицательна, то есть там, где она лежит ниже оси x. Поэтому мы обращаем функцию, начиная с x=2:

И, наконец, устраняем след функции, расположенный ниже оси X:

Таким образом, мы уже представили функцию с абсолютным значением. Как вы видели, единственное, что меняется, это то, что мы должны инвертировать ту часть функции, которая расположена ниже оси OX. Следовательно, график любой функции с абсолютным значением всегда будет лежать на стороне положительной полуоси Y.

С другой стороны, если рассматривать концепции, из графика мы можем сделать вывод, что область определения предыдущей функции абсолютного значения полностью состоит из действительных чисел. С другой стороны, диапазон или диапазон указанной функции с абсолютным значением состоит только из положительных чисел и нулей.

Решенные упражнения на функции абсолютного значения

Упражнение 1

Выразите следующую функцию с абсолютным значением как кусочную функцию:

Прежде всего, нам нужно посмотреть, когда функция отрицательна. Для этого приравняем абсолютное значение нулю и решим уравнение:

Представляем найденное значение в строке:

Теперь оцениваем точку в каждом интервале функции без абсолютного значения, чтобы узнать, какой знак на самом деле имеет функция на каждом участке линии:

Функция без абсолютного значения будет отрицательной в интервале x>3. Поэтому мы должны выразить функцию тире, изменив ее знак на этом интервале:

Упражнение 2

Найдите кусочное выражение следующей функции с абсолютным значением:

Первое, что нам нужно сделать, это определить, когда функция отрицательна. Для этого нам нужно установить аргумент абсолютного значения равным нулю и решить уравнение:

Теперь представим корни полученной справа функции:

И смотрим, какой знак имеет функция без абсолютного значения в каждом интервале строки:

Следовательно, функция без абсолютного значения будет отрицательной только в интервале -5<x<5. Поэтому нам нужно выразить функцию в частях, изменив только знак этого интервала: