Явное уравнение прямой

На этой странице вы найдете все о явном уравнении прямой: что это такое, какова его формула, примеры расчета и т.д. Вы также найдете подробное объяснение того, что означает наклон, и точку пересечения явного уравнения. Более того, вы увидите разные примеры и сможете практиковаться, выполняя упражнения, решая шаг за шагом.

Каково явное уравнение линии?

Помните, что математическое определение линии — это набор последовательных точек, которые представлены в одном направлении без кривых или углов.

Итак, явное уравнение линии — это способ выразить любую линию математически. Для этого вам просто нужно знать наклон линии и точку ее пересечения с осью Y.

Формула явного уравнения линии

Формула явного уравнения линии :

$y=mx+n$

Золото

$m$

это наклон линии и

$n$

его точка пересечения по оси Y, то есть высота, на которой он пересекает ось Y.

Давайте посмотрим , как рассчитывается явное уравнение линии на примере:

Напишите явное уравнение прямой, проходящей через точку
$P(3,1)$

и уклон m=2.

Формула явного уравнения линии:

$y= mx+n$

В этом случае утверждение сообщает нам, что наклон линии равен m=2, поэтому уравнение линии будет следующим:

$y= 2x+n$

Поэтому достаточно вычислить коэффициент n. Для этого нам необходимо подставить в ее уравнение точку, принадлежащую прямой. И в этом случае утверждение говорит нам, что линия проходит через точку

$P(3,1),$

Еще:

$P(3,1)$

$y= 2x+n \ \xrightarrow{x=3 \ ; \ y=1} \ 1=2\cdot 3 +n$

И решаем полученное уравнение, чтобы найти значение n:

$1=2\cdot 3 +n$

$1=6 +n$

$1-6=n$

$-5 = n$

Таким образом, явное уравнение линии имеет вид:

$\bm{y= 2x-5}$

Имейте в виду, что помимо явного уравнения существуют и другие способы аналитического выражения линии. Например, векторное уравнение , которое представляет собой тип линейного уравнения, отличающийся от всех остальных, поскольку вектор направления и точка на линии выражаются своими собственными координатами. По ссылке вы можете увидеть, что это такое и почему оно такое особенное.

Значение параметров m и n

Как мы видели при определении явного уравнения линии, параметр

$m$

это наклон линии и

$n$

это y-перехват. Но что это значит? Давайте посмотрим на это на графическом представлении линии:

Термин «независимый»

$\bm{n}$

— точка пересечения линии с осью компьютера (ось OY). На графике выше

$n$

равно 1, поскольку линия пересекает ось y в точке y=1.

С другой стороны, термин

$\bm{m}$

указывает наклон линии , то есть ее наклон. Как вы видите на графике,

$m$

равно 2, так как линия поднимается на 2 единицы по вертикали за 1 единицу по горизонтали.

Очевидно, что если наклон положителен, функция возрастает (уходит вверх), а если наклон отрицательный, функция убывает (уменьшается).

Вычислить наклон линии

Кроме того, существует три различных способа численного определения наклона линии:

Даны две разные точки на прямой
$P_1(x_1,y_1)$

И

$P_2(x_2,y_2),$

Наклон линии равен:

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ага
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

– вектор направления линии, ее наклон:

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

Ага
$\alpha$

— угол, образованный линией с осью абсцисс (ось X), наклон линии эквивалентен тангенсу указанного угла:

$m = \text{tg}(\alpha )$

Относительное положение линий

Наконец, наклон линии также используется для определения взаимосвязи между несколькими линиями. Поскольку две параллельные линии имеют одинаковый наклон и, с другой стороны, если наклон одной линии является отрицательной величиной, обратной наклону другой линии, это означает, что эти две линии перпендикулярны .

параллельные прямые с одинаковым наклоном

Вычислить явное уравнение прямой, проходящей через две точки

Очень типичная задача — найти явное уравнение прямой по двум точкам, через которые она проходит. Давайте посмотрим, как она решается на примере:

Определите явное уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$P_1(4,-1) \qquad P_2(2,5)$

Чтобы найти явное уравнение линии, нужно знать, чего стоят параметры m и n. Поэтому сначала мы вычисляем наклон линии, используя формулу двоеточия:

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{5-(-1)}{2-4} = \cfrac{6}{-2}= -3$

$y=-3x+n$

И тогда мы можем найти точку пересечения оси Y, подставив точку на прямой в уравнение:

$P_1(4,-1)$

$y= -3x+n \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ -1=-3\cdot 4 +n$

$-1 =-12+ n$

$-1 +12= n$

$11= n$

Итак, явное уравнение линии:

$\bm{y=-3x+11}$

Нахождение явного уравнения по неявному уравнению

Наконец, еще один тип задач, с которым мы часто сталкиваемся, — это нахождение явного уравнения прямой из ее неявного уравнения (также называемого общим или декартовым уравнением). Очевидно, чтобы понять следующий метод, вам нужно точно знать, что представляет собой подразумеваемое уравнение и как оно работает; но если вы его совсем не помните, вы можете посмотреть по ссылке.

Итак, если вы уже освоили неявное (или общее) уравнение прямой, давайте посмотрим, как работает эта процедура:

Найдите явное уравнение следующей строки:

$3x-2y+8 =0$

Все, что нам нужно сделать, чтобы найти явное уравнение прямой, — это найти переменную

$\bm{y}.$

Поэтому мы принимаем условия без

$y$

с другой стороны уравнения:

$-2y=-3x-8$

Теперь очищаем переменную

$y:$

$\displaystyle y=\frac{-3x-8}{-2}$

И наконец, упрощаем:

$\displaystyle y=\frac{-3x}{-2} -\cfrac{8}{-2}$

$\displaystyle y=\frac{3x}{2} -(-4)$

$\displaystyle \bm{y=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x +4}$

Следовательно, наклон этой линии равен

$\displaystyle \frac{3}{2}$

и его точка пересечения с Y равна 4.

Решенные задачи с явными уравнениями

Упражнение 1

Определите наклон и точку пересечения оси Y следующих линий:

$\begin{array}{lll} A) \ y= 3x-1 & \qquad & B) \ y=5x+2 \\[2ex] C) \ y=-x+3 & \qquad & D) \ 4x+2y-6=0 \end{array}$

посмотреть решение

Явное уравнение линии следует следующей формуле:

$y=mx+n$

Золото

$m$

это наклон и

$n$

компьютер в начале координат. Еще:

$\bm{A)} \ y= 3x-1 \ \begin{cases} m = 3 \\[2ex] n=-1\end{cases}$

$\bm{B)} \ y= 5x+2 \ \begin{cases} m = 5 \\[2ex] n=2 \end{cases}$

$\bm{C)} \ y= -x+3 \ \begin{cases} m = -1 \\[2ex] n=3\end{cases}$

Последняя строка выражается неявным уравнением, поэтому сначала нам нужно передать ее явному уравнению (решить

$y$

), то мы можем определить параметры:

$\bm{D)} \ 4x+2y-6=0$

$2y =-4x+6$

$y =\cfrac{-4x+6}{2}$

$y =-2x+3$

$\begin{cases} m = -2 \\[2ex] n=3 \end{cases}$

Упражнение 2

Найдите явное уравнение прямой, проходящей через точку

$P(2,-3)$

и имеет наклон

$m=-2.$

посмотреть решение

Формула явного уравнения линии:

$y= mx+n$

В этом случае наклон линии должен быть равен -2, поэтому уравнение линии будет иметь следующий вид:

$y= -2x+n$

Поэтому достаточно вычислить коэффициент n. Для этого необходимо подставить в ее уравнение точку, принадлежащую прямой, и решить полученное уравнение:

$P(2,-3)$

$y= -2x+n \ \xrightarrow{x=2 \ ; \ y=-3} \ -3=-2\cdot 2 +n$

$-3=-4 +n$

$-3+4= n$

$1= n$

Короче говоря, явное уравнение линии таково:

$\bm{y= -2x+1}$

Упражнение 3

Найдите явное уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$P_1(6,-1) \qquad P_2(3,2)$

посмотреть решение

Чтобы найти явное уравнение линии, нужно знать, чего стоят параметры m и n. Поэтому мы сначала вычисляем наклон линии по координатам двух точек:

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{2-(-1)}{3-6} = \cfrac{3}{-3}= -1$

$y=-x+n$

А затем определяем точку пересечения, подставив точку на прямой в уравнение:

$P_1(6,-1)$

$y= -x+n \ \xrightarrow{x=6 \ ; \ y=-1} \ -1=-6 +n$

$-1 +6= n$

$5= n$

Итак, явное уравнение линии:

$\bm{y=-x+5}$

Упражнение 4

Вычислите явное уравнение линии, образующей угол 45° с осью X и проходящей через начало координат.

посмотреть решение

Если линия составляет угол 45 градусов с осью OX, ее наклон составит:

$m = \text{tg}(45º) = 1$

$y=x+n$

И как только мы узнаем наклон линии, мы можем вычислить точку пересечения оси y, подставив точку на линии в уравнение. Кроме того, оператор сообщает нам, что линия проходит через начало координат, а это значит, что она проходит через точку (0,0). Еще:

$P(0,0)$

$y= x+n \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=0} \ 0=0 +n$

$0= n$

Итак, явное уравнение линии:

$\bm{y=x}$

Упражнение 5

Найдите явное уравнение прямой, параллельной прямой

$r$

и что происходит через точку

$P(-2,4).$

быть прямым

$r:$

$r: \; y=3x+4$

посмотреть решение

Чтобы линия была параллельна линии

$r,$

оба должны иметь одинаковый наклон, поэтому:

$m = 3$

$y=3x+n$

И как только мы узнаем наклон линии, мы можем вычислить точку пересечения оси y, подставив точку, принадлежащую линии, в уравнение:

$P(-2,4)$

$y= 3x+n \ \xrightarrow{x=-2 \ ; \ y=4} \ 4=3\cdot (-2) +n$

$4=-6+ n$

$4+6= n$

$10= n$

Итак, явное уравнение линии:

$\bm{y=3x+10}$

Упражнение 6

Каково явное уравнение каждой изображенной на графике линии?

явное уравнение прямой, решение упражнения шаг за шагом

посмотреть решение

синий правый

Синяя линия увеличивается на один Y для каждого

$y =x+2$

прямо зеленый

Зеленая линия увеличивается на 3 Y для каждого X, поэтому ее наклон равен 3. Кроме того, линия пересекает ось Y в точке -4, поэтому ее точка пересечения с Y равна -4.

$y =3x-4$

Красная линия

Красная линия уменьшается на два Y для каждого X, поэтому ее наклон равен -2. А линия пересекает ось Y в точке y=-2, поэтому ее точка пересечения с Y также равна -2.

$y =-2x-2$

Каково явное уравнение линии?

Формула явного уравнения линии

Значение параметров m и n

Вычислить наклон линии

Относительное положение линий

Вычислить явное уравнение прямой, проходящей через две точки

Нахождение явного уравнения по неявному уравнению

Решенные задачи с явными уравнениями

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Упражнение 6

Оставьте комментарий Отменить ответ