Биномиальная четвертая

На этой странице вы найдете формулу бинома четвертой степени, и мы объясним, как решить этот тип биномиальной операции на примерах. Кроме того, вы сможете попрактиковаться с упражнениями, решаемыми поэтапно, от сверстников до четвертого класса.

Четверть биномиальная формула

В математике бином в четвёртой степени — это многочлен, состоящий из двух слагаемых и возведенный в четвёртую степень.

Таким образом, формула, используемая для расчета четверти бинома, выглядит следующим образом:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Эту формулу можно вывести из общей биномиальной формулы Ньютона . Фактически, с помощью бинома Ньютона вы можете вычислять биномы, возведенные в любую степень, поэтому лучше всего изучить формулу бинома Ньютона. Нажмите на предыдущую ссылку и узнайте, как выглядит эта формула.

Следовательно, бином в четвертой степени равен первому члену, возведенному в четвертый, плюс произведение 4-кратного возведения в куб первого члена и второго члена, плюс квадраты первого и второго членов, умноженные на 6, плюс произведение 4-кратного первый член, умноженный на второй член, увеличенный до 3, плюс второй член, увеличенный до четвертого.

Эта формула соответствует биному суммы (два ее элемента положительны), но в формуле вычитания бинома, возведенного в четвертую, знаки второго и четвертого произведений отрицательны:

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

Примеры сверстников в четвертом классе

Учитывая формулу этого типа бинома, мы увидим несколько примеров решения бинома четвертой степени. Сначала мы вычислим положительный бином, а затем решим отрицательный бином.

Пример 1

Вычислите следующий бином, возведенный в четвертую степень:

$(x+2)^4$

Формула степени суммы бинома, возведенной в 4-ю степень:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Итак, чтобы вычислить бином для упражнения, просто подставьте две величины бинома в формулу:

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

И наконец решаем операции:

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

Пример 2

Найдите следующий бином, возведенный в четвертую степень:

$(x-3)^4$

Формула потенцирования разностного бинома, возведенного в 4-ю степень, выглядит следующим образом:

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

Поэтому для определения бинома задачи достаточно просто подставить переменные в формулу на значения бинома:

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

И, наконец, решаем полученные операции:

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

Демонстрация формулы бинома в четвертой

Чтобы изучить концепцию бинома, возведенного в четвертую степень, мы продемонстрируем его формулу несколькими способами.

Из любой пары, поднятой до 4:

$(a+b)^4$

Алгебраическое выражение бинома четвертой степени можно факторизовать, разложив его на простые множители:

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

Таким образом, решив каждое произведение многочленов , мы приходим к формуле бинома, возведенного в четвертую степень:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

С другой стороны, формулу бинома четвертой степени можно проверить и с помощью формулы бинома куба :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Аналогично, доказательство может быть получено с помощью выдающихся продуктов (или выдающихся личностей). Например, используя формулу знатного произведения квадрата суммы :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Соответственно, примечательная формула идентичности квадрата вычитания используется для подтверждения формулы биномиального вычитания:

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Решенные упражнения для пар в четвертом классе.

Решите следующие степени биномов, возведенных в четвертую степень:

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

посмотреть решение

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

Пара на четвёртом месте