Целочисленный набор представляет собой совокупность всех положительных и отрицательных чисел. В этой статье мы поговорим о свойствах этих чисел, о том, как они представлены на числовой прямой, какие операции с ними можно производить и многое другое.
Что такое целые числа?
Целые числа — это все натуральные и отрицательные числа, а не десятичные. Следовательно, в математике набор целых чисел — это набор всех натуральных чисел плюс набор отрицательных чисел и число ноль . Это множество, в свою очередь, является подкатегорией множества рациональных чисел .
Целые числа — это натуральные числа плюс отрицательные числа. Таким образом, целые числа включают следующий диапазон: {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, ∞}. Поэтому жизненно важно иметь хорошее представление о наборе натуральных чисел и их обратных (отрицательных) числах , чтобы понимать целые числа.
Подмножества чисел Z
Из того, что мы объяснили до сих пор, мы можем сделать вывод, что существует два типа целых чисел : положительные (натуральные) целые числа и отрицательные (отрицательные) целые числа. Эти два набора чисел называются подмножествами целых чисел.
Однако мы также можем создавать и другие подмножества, такие как четные и нечетные числа, а также простые и составные числа. Потому что теория множеств в применении к арифметике позволяет нам группировать числа по любому описывающему их математическому свойству .
Примеры целых чисел
Чтобы немного прояснить, что такое целое число, приведем несколько примеров по порядку:
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Как видите, это первые восемь положительных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), ноль и обратные значения предыдущих натуральных чисел. Очевидно, что эти семнадцать примеров — лишь часть целого. Но из этой небольшой группы значений можно концептуализировать любое целое число.
Характеристики множества целых чисел
Этот цифровой набор имеет ряд характеристик:
- Оно бесконечно, поскольку состоит из двух бесконечных числовых наборов (натуральных чисел и отрицательных чисел).
- Все значения в этом наборе подписаны: положительные (+) или отрицательные (-), кроме нуля.
- Они имеют определенный порядок: отрицательные числа меньше нуля, а положительные числа больше нуля: Отрицательные < 0 < Положительные.
- Все целые числа рациональны, но не являются дробными.
- Для каждого положительного целого числа существует равное ему отрицательное целое число, но противоположного знака.
Представление целых чисел
В предыдущем разделе мы прокомментировали порядок целых чисел. Но, чтобы увидеть это еще яснее, мы покажем вам изображение на числовой прямой .
Как видите, эта числовая линия представляет собой комбинацию числовых линий натуральных и отрицательных чисел. Короче говоря, отрицательные числа с наибольшим абсолютным значением — это те, которые идут дальше всего влево (наименьшее). В то время как положительные числа с наибольшим абсолютным значением — это те, которые идут дальше всего вправо (наибольшие).
Свойства целых чисел
Прежде чем научиться выполнять операции с целыми числами, очень важно знать ряд свойств . Таким образом, мы можем работать легко и без ошибок.
Мы покажем вам эти свойства в этом списке:
- Коммутативный: порядок множителей не имеет значения, кроме сложения и умножения двух целых чисел. Итак, для всех целых чисел a и b:
а + б = б + а
аб = ба
- Ассоциативность: кроме сложения и умножения трех или более целых значений, порядок факторов не имеет значения. Следовательно, для всех целых чисел a, b и c.
а + (б + с) = (а + б) + с
а · (б · в) = (а · б) · с
- Распределительный: умножение числа на сумму эквивалентно взятию общего делителя:
а(б + с) = аб + ас
- Нейтральный элемент: есть два числа, которые при участии в операции с целыми числами не меняют исходное значение. Для умножения это 1, а для сложения — 0.
1 = один
до + 0 = до
- Абсолютное значение: любое отрицательное целое число имеет идентичное положительное целое число, но без знака. Это также относится к положительным целым числам, но абсолютное значение положительного числа само по себе является положительным.
|-а| = чтобы
|а| = чтобы
Если вы хотите узнать больше об этих свойствах, рекомендуем взглянуть на нашу статью о математических свойствах операций .
Операции с целыми числами
Теперь вы знаете характеристики множества Z (целое), каков его порядок и свойства этого множества для решения операций. Поэтому мы уже можем говорить о самих операциях .
- Сложение целых чисел: если мы добавляем два целых числа одного знака, мы просто добавляем их абсолютные значения и добавляем знак впереди. Однако если мы сложим положительное и отрицательное значения, мы должны вычесть их абсолютные значения и записать знак целого числа с наибольшим абсолютным значением:
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- Вычитание целых чисел: при вычитании двух целых чисел необходимо применять закон знаков . Так как это позволяет упростить вычитания, имеющие более одного знака подряд. И вот мы преобразуем их в суммы, которые мы уже умеем решать (объяснено в предыдущем разделе). Следующая таблица объясняет закон знаков:
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
Далее мы представляем все случаи, которые можем найти:
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- Целочисленное умножение. Чтобы решить целочисленное умножение, просто умножьте абсолютные значения. А затем добавьте соответствующий знак, используя закон знаков, который объяснен выше. Теперь мы покажем вам четыре существующих случая умножения:
4 5 = 20
(-4) 5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- Деление целых чисел: наконец, у нас есть деления, для их решения мы должны разделить абсолютные значения на частное и добавить знак, основываясь на законе знаков. Далее мы покажем вам четыре случая, которые вы можете найти:
20 ÷ 5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
Как набор целых чисел используется в повседневной жизни?
Набор целых чисел используется в повседневной жизни несколькими способами. Например, при попытке измерить что-либо обычно используются целые числа, особенно положительные.
Они также используются для выполнения основных математических вычислений , таких как сложение, вычитание, умножение и деление. Это касается всех повседневных действий, которые мы совершаем, таких как: покупка, расчет валюты, измерение расстояния поездки, учет времени…
Другие способы использования целых чисел в повседневной жизни включают упорядочивание объектов (например, размещение книг на полке в алфавитном порядке) и отслеживание местоположения (например, поиск здания на карте). В заключение, почти все, что вы делаете, окружено целочисленными значениями.