Непрерывное уравнение линии

На этой странице вы найдете все о непрерывном уравнении прямой: что оно означает, как оно рассчитывается по точке и вектору и как определяется всего по двум точкам. Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров и даже попрактиковаться, выполняя упражнения и задачи, решая шаг за шагом.

Что такое непрерывное уравнение прямой?

Помните, что математическое определение линии — это набор последовательных точек, которые представлены в одном направлении без кривых или углов.

Итак, уравнение непрерывной линии — это способ математически выразить любую линию. И для этого достаточно знать точку, принадлежащую прямой, и вектор направления этой линии.

Как рассчитывается непрерывное уравнение линии?

Ага

$\vv{\text{v}}$

— вектор направления линии и

$P$

точка, принадлежащая правому:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Формула непрерывного уравнения линии :

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, которая является частью линии.
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой.

определение непрерывного уравнения строки 4

Эта формула предназначена для непрерывного уравнения прямой на плоскости, то есть при работе с точками и векторами 2-х координат (в R2). Но если бы мы проводили расчеты в пространстве (в R3), нам пришлось бы добавить в уравнение линии дополнительную составляющую:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

С другой стороны, имейте в виду, что помимо непрерывного уравнения существуют и другие способы аналитического выражения линии: векторное уравнение, параметрические уравнения, неявное (или общее) уравнение, явное уравнение и уравнение точечного наклона Алина. Что это такое, вы можете проверить на нашем сайте.

Фактически непрерывное уравнение прямой можно получить из ее параметрических уравнений. Посмотрите на формулу параметрического уравнения в строке :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Если мы очистим настройку

$t$

из каждого параметрического уравнения получаем:

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

Приравнивая два полученных уравнения, получаем непрерывное уравнение линии:

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Пример того, как найти непрерывное уравнение прямой

Давайте посмотрим, как определяется непрерывное уравнение линии на примере:

Напишите непрерывное уравнение прямой, проходящей через точку
$P$

и имеет

$\vv{\text{v}}$

как направляющий вектор:

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

Чтобы найти непрерывное уравнение линии, просто примените его формулу:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

Как найти непрерывное уравнение прямой из двух точек

Общая проблема с непрерывным уравнением заключается в том, что они дают нам 2 точки, принадлежащие прямой, и по ним нам нужно вычислить непрерывное уравнение. Посмотрим, как она решается на примере:

Найдите непрерывное уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

Как мы видели в разделах выше, для расчета непрерывного уравнения прямой нам необходимо знать ее вектор направления и точку на нем. У нас уже есть точка справа, но нам не хватает ее вектора направления. Поэтому мы должны сначала вычислить вектор направления линии, а затем непрерывное уравнение .

Чтобы определить вектор направления линии, просто вычислите вектор, определяемый двумя точками, указанными в выражении:

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

И поскольку мы уже знаем вектор направления линии, чтобы найти непрерывное уравнение линии, нам просто нужно применить формулу:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

В данном случае мы взяли точку А для определения непрерывного уравнения прямой, но правильно также записать ее с другой точкой, которую нам дают в утверждении:

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

Решенные задачи непрерывного уравнения прямой

Упражнение 1

Найдите непрерывное уравнение прямой, вектор направления которой равен

$\vv{\text{v}}$

и проходит через точку

$P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

посмотреть решение

Чтобы найти непрерывное уравнение линии, просто примените его формулу:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

Упражнение 2

Определим вектор направления и точку на следующей прямой:

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

посмотреть решение

Строка в заявлении выражается в виде непрерывного уравнения, формула которого имеет вид:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Чтобы компоненты вектора направления прямой соответствовали знаменателям дробей:

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

А декартовы координаты точки на прямой — это номера числителей с измененным знаком :

$P(1,-4)$

Упражнение 3

Найдите непрерывное уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

посмотреть решение

Чтобы вычислить непрерывное уравнение прямой, нам необходимо знать вектор ее направления и одну из ее точек. В данном случае у нас уже есть точка на прямой, но нам не хватает ее вектора направления. Поэтому мы должны сначала вычислить вектор направления линии, а затем продолжить уравнение.

Чтобы найти вектор направления линии, просто вычислите вектор, определяемый двумя точками, указанными в выражении:

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

И как только мы уже знаем вектор направления линии, чтобы найти ее непрерывное уравнение, мы просто применяем формулу:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

В этом случае мы выбрали точку А для определения непрерывного уравнения, но также допустимо записать ее вместе с другой точкой, которую нам дают в утверждении:

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

Упражнение 4

Учитывая следующий момент:

$P(0,3)$

Определите, принадлежит ли она линии, определяемой следующим непрерывным уравнением:

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

посмотреть решение

Чтобы проверить принадлежность точки линии, необходимо подставить координаты точки в уравнение линии. Если точка удовлетворяет уравнению, это будет означать, что она действительно принадлежит прямой, с другой стороны, если уравнение не удовлетворяется, это будет означать, что точка не является частью прямой.

Поэтому подставим координаты точки в уравнение данной прямой:

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$