Векторное уравнение линии

На этой странице вы узнаете, как рассчитать векторное уравнение линии. Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров и попрактиковаться на решенных упражнениях. А еще вы узнаете, как точки прямой получаются из ее векторного уравнения.

Что такое векторное уравнение прямой?

Помните, что математическое определение линии — это набор последовательных точек, которые представлены в одном направлении без кривых или углов.

Итак, уравнение линейного вектора — это способ математически выразить любую линию. И для этого достаточно точки, принадлежащей прямой, и вектора направления линии.

Как рассчитывается векторное уравнение линии?

Ага

$\vv{\text{v}}$

— вектор направления линии и

$P$

точка, принадлежащая правому:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

Формула векторного уравнения линии :

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, которая является частью линии.
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой.
$t$

— скаляр (действительное число), значение которого зависит от каждой точки прямой.

Это векторное уравнение прямой на плоскости, то есть при работе с точками и векторами 2-х координат (в R2). Однако если бы мы проводили расчеты в пространстве (в R3), нам пришлось бы добавить в уравнение линии дополнительную составляющую:

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

С другой стороны, имейте в виду, что помимо векторного уравнения существуют и другие способы аналитического выражения линии: параметрические уравнения, непрерывное уравнение, неявное (или общее) уравнение, явное уравнение и уравнение точки-наклона линии. . Посмотреть все типы уравнений в строке можно по этой ссылке.

Пример того, как найти векторное уравнение прямой

Давайте посмотрим, как определяется векторное уравнение линии на примере:

Напишите векторное уравнение прямой, проходящей через точку
$P$

и имеет

$\vv{\text{v}}$

как направляющий вектор:

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

Чтобы найти векторное уравнение линии, просто примените его формулу:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

Получение точек из векторного уравнения линии

После того как мы нашли векторное уравнение линии, очень легко вычислить точки, через которые проходит линия. Чтобы определить точку на линии , просто задайте значение параметру

$\bm{t}$

векторного уравнения прямой.

Например, дано следующее векторное уравнение линии:

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

Очко начисляется за замену

$t$

по любому номеру, например

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

И мы можем вычислить еще одну точку на линии, дающую неизвестное

$t$

другой номер, например

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

Следовательно, мы можем получить бесконечное количество точек на прямой, поскольку переменная

$t$

может принимать бесконечные значения.

Решенные задачи векторного уравнения прямой

Упражнение 1

Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через точку

$P$

и чей вектор направления равен

$\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

посмотреть решение

Чтобы рассчитать векторное уравнение линии, просто примените его формулу:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Упражнение 2

Вычислите три точки, находящиеся на прямой из предыдущей задачи.

посмотреть решение

Для получения точек из линии, описываемой векторным уравнением, необходимо задать значения параметру

$t.$

Векторное уравнение, рассчитанное в предыдущей задаче:

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Для расчета точки подставляем неизвестное

$t$

например, по

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

Для нахождения второй точки дадим

$t$

например, значение

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

И, наконец, получаем третий пункт, присваивая

$t$

значение

$t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

Возможно, вы получили разные баллы, поскольку это зависит от значений, которые вы даете параметру.

$t.$

Но если вы проделали ту же процедуру, все в порядке.

Упражнение 3

Или два пункта:

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

посмотреть решение

В этом случае у нас нет вектора направления линии, мы должны сначала найти вектор ее направления, а затем уравнение линии.

Итак, чтобы найти вектор направления линии, мы должны вычислить вектор, определяемый двумя заданными точками:

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

И как только мы уже знаем вектор направления линии, мы можем определить ее векторное уравнение по одной из заданных точек и формуле:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

Уравнение, полученное путем подстановки в формулу другой заданной точки, также справедливо:

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

Что такое векторное уравнение прямой?

Как рассчитывается векторное уравнение линии?

Пример того, как найти векторное уравнение прямой

Получение точек из векторного уравнения линии

Решенные задачи векторного уравнения прямой

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Оставьте комментарий Отменить ответ