▷ Факториал числа: что это такое и как его вычислить ✅

На этой странице объясняется, что такое факториал числа и как он рассчитывается. Кроме того, представлены несколько примеров и таблица значений наиболее используемых факториалов. Он также учит, как вычислить факториал числа с помощью калькулятора. И, наконец, проиллюстрировано применение и свойства факториалов.

Что такое факториал числа?

В математике факториал числа равен произведению всех натуральных чисел от 1 до этого числа. Кроме того, факториал числа обозначается восклицательным знаком (!) после числа.

Например, чтобы определить факториал числа n , также называемый факториалом n , необходимо умножить число n на все целые числа, которые ему предшествуют (начиная с единицы):

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n$

Как вычислить факториал числа

Разобравшись со значением факториала числа, давайте на примере посмотрим, как определить любой факториал:

Вычислите факториал 4:

Как мы видели в математическом определении, факториал числа эквивалентен умножению всех натуральных чисел, меньших или равных ему. Следовательно, чтобы вычислить факториал 4, нам нужно умножить числа 1, 2, 3 и 4:

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24$

Таким образом, факториал 4 дает 24.

Примеры факториалов чисел

Чтобы завершить понимание понятия факториала числа, мы оставляем вам пример вычисления нескольких факториалов разных чисел:

Факториал 3:

$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 =6$

Факториал 5:

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120$

Факториал 6:

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=720$

Факториал 1:

$1! = 1$

Логически факториал числа 1 равен 1, так как достаточно умножить 1.

Факториал 0:

$0! = 1$

Да, ладно, как ни странно, факториал 0 равен не нулю, а 1. Вам это может показаться немного странным, ведь по идее нужно умножать 0 на 1. Однако по соглашению принято, что 0! =1, поскольку свойство продукта пусто . Мы оставляем вам эту ссылку на случай, если вы захотите узнать больше, хотя не очень важно, чтобы вы знали причину, важно то, что вы помните, что факториал 0 равен 1 .

Список результатов для факториалов чисел

Ниже мы свели факториалы наиболее употребляемых чисел в таблицу, чтобы вам не пришлось вычислять их вручную.

Номер	Факториал числа
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40,320
9	362 880
десять	3 628 800
одиннадцать	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
пятнадцать	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
двадцать	2 432 902 008 176 640 000
пятьдесят	3 041 409 320 · ^10,64
100	9 332 621 544 · ^{10 157}
1000	4 023 872 601 · ^10,2567
10 000	2 846 259 681 · ^{10 35 659}
100 000	2 824 229 408 · 10 ^{45 6573}
1 000 000	8 263 931 688 · 10 ^{5 565 708}

Факториал числа с помощью калькулятора

Как видно из предыдущих примеров, результаты факториалов двух последовательных чисел растут в геометрической прогрессии, поэтому узнать факториал больших чисел довольно сложно. Итак, мы покажем вам, как найти факториал числа с помощью калькулятора.

Научные калькуляторы имеют клавишу с символом x! или н! который используется для вычисления факториала целого числа. Итак, чтобы определить, сколько стоит факториал, необходимо выполнить на калькуляторе следующую последовательность действий:

$n! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=}$

Обычно калькуляторы CASIO имеют факторный ключ x! или н! над кнопкой x ^-1 .

В качестве примера мы решим факториал с помощью калькулятора, чтобы вы могли проверить, умеете ли вы это делать. Например, мы сделаем факториал 9:

$9! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 9\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 362880$

Чтобы найти факториал 9, необходимо сначала ввести число 9, а затем нажать клавишу

$\boxed{x!}$

и, наконец, нажмите кнопку равенства. В этом случае калькулятор должен показать нам результат 362 880.

Применение факториала

Функция факториала числа может показаться очень простой и абсурдной операцией, но в продвинутой алгебре она используется довольно часто. Затем мы увидим основные способы использования факториала.

Прежде всего, факториал — это важнейшая операция вычисления комбинаторного числа , более чем частная операция. Если вы не знаете, что такое комбинаторное число, посмотреть, из чего оно состоит и как рассчитывается, можно по этой ссылке, где вы найдете примеры, решенные упражнения и каковы его свойства. Кроме того, вы сможете увидеть, для чего он используется, поскольку он имеет множество реальных приложений.

Факториал также используется в математике для определения полинома Тейлора функции.

Аналогичным образом факториал используется для решения некоторых комбинаторных задач, в частности для вычисления комбинаций и перестановок. В этом смысле факториалы также часто используются для расчета вероятностей с использованием комбинаторики.

Перестановка из n элементов соответствует каждому из различных вариантов расположения этих элементов. Итак, для вычисления перестановки используется факториал. Например, если в задаче вы хотите найти количество возможностей, в которых можно расположить 7 объектов, вам необходимо вычислить факториал 7.

Теперь посмотрим на решенное упражнение:

У нас есть 5 разных пар обуви, сколькими способами мы можем их расположить?

В этом упражнении нам предстоит найти все возможные способы объединения этих 5 пар обуви с учетом порядка их размещения. Итак, чтобы решить задачу, вам просто нужно вычислить факториал 5:

$5! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 =120$

Короче говоря, 5 пар обуви можно разместить 120 различными способами.

Свойства факториала

Факториальное число имеет следующие характеристики:

Если два положительных целых числа n и m такие, что n больше m , то, очевидно, значение факториала n больше, чем значение факториала m .

$n>m \quad \longrightarrow \quad n! > m!» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»15″ width=»183″ style=»vertical-align: -2px;»> <ul style=$

Факториал числа можно разложить на факториалы так, чтобы один из множителей был факториалом меньшего числа.

$n>m \quad \longrightarrow \quad n!= n\cdot (n-1) \cdots (m+1)\cdot m!» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»19″ width=»361″ style=»vertical-align: -5px;»> Например, 6 больше 4, поэтому выражение для факториала 6 можно упростить следующим образом: <p class=$ $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$

Следующее алгебраическое выражение справедливо для факториала любого числа, кроме факториала 1:

$\displaystyle n!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$

Факториал отрицательного или десятичного числа

Мы только что увидели, как найти значение факториала положительного целого числа, но… можем ли мы вычислить факториал отрицательного или десятичного числа? Ответ — да, но необходимы глубокие знания математики.

Факториал отрицательного числа и десятичного числа вычисляется с помощью специальной функции, называемой «Гамма-функция Эйлера», которая определяется следующим интегралом:

$\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t$

Таким образом, любой тип факториала можно решить с помощью гамма-функции, поскольку всегда верно следующее уравнение:

$n! = \Gamma(n+1)$

Например, чтобы найти факториал 0,5, мы должны найти значение

$\Gamma(1,5)$

потому что:

$0,5! = \Gamma(0,5+1) =\Gamma(1,5)$

А решение интеграла будет соответствовать факториалу 0,5.

Очевидно, что решить интеграл от гамма-функции непросто, и мы не будем учить этому в этой статье, поскольку многие математические понятия придется объяснять заранее. Но мы хотели, чтобы вы знали, что существует возможность вычисления факториала отрицательного или десятичного числа.

Фактически, в качестве примера, мы вычислили некоторые отрицательные факториалы и десятичные значения:

$\underline{\bm{n}}$	$\underline{\bm{n!}}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{\pi}$