Линейные уравнения -

Здесь вы найдете формулы для всех типов уравнений линии. Кроме того, вы сможете увидеть примеры того, как они рассчитываются, а также потренироваться на решении упражнений уравнений прямой.

Каковы все уравнения прямой?

Помните, что математическое определение линии — это набор последовательных точек, которые представлены в одном направлении без кривых или углов.

Таким образом, для аналитического выражения любой прямой на плоскости (в R2) мы используем уравнения прямой, и для их нахождения достаточно точки, принадлежащей прямой, и вектора направления этой прямой. С помощью всего лишь этих двух геометрических элементов можно найти абсолютно все различные уравнения линии, а именно:

Уравнениями линии являются векторное уравнение, параметрические уравнения, непрерывное уравнение, неявное (или общее) уравнение, явное уравнение, уравнение наклона точки и каноническое (или сегментное) уравнение.

Все типы уравнений линий преследуют одну и ту же цель: математически представить линию. Но каждое уравнение линии имеет свои свойства и поэтому в зависимости от задачи лучше использовать то или другое.

Познакомившись с концепцией линейных уравнений, мы переходим к анализу характеристик каждого типа линейных уравнений в частности. Ниже вы найдете подробное объяснение различных типов уравнений в строке, но при желании вы можете перейти сразу к концу сводной таблицы с формулами всех уравнений в строке .

Векторное уравнение линии

Ага

$\vv{\text{v}}$

— вектор направления линии и

$P$

точка, принадлежащая правому:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Формула векторного уравнения линии :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, образующей часть линии

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

— скаляр (действительное число), значение которого зависит от каждой точки прямой.

Это векторное уравнение прямой на плоскости, то есть при работе с точками и векторами 2-х координат (в R2). Однако если бы мы проводили расчеты в пространстве (в R3), нам пришлось бы добавить в уравнение линии дополнительную составляющую:

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

Параметрические уравнения линии

Параметрические уравнения линии можно получить из ее векторного уравнения:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

Сначала умножаем параметр

$t$

вектором направления справа:

$(x,y)=(P_1,P_2)+ (t\cdot\text{v}_1,t\cdot\text{v}_2)$

Далее мы добавляем координаты X и Y:

$(x,y)=(P_1+t\cdot\text{v}_1,P_2+t\cdot\text{v}_2)$

И, наконец, очистив каждую переменную отдельно, получим параметрические уравнения линии:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, образующей часть линии

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

— скаляр (действительное число), значение которого зависит от каждой точки прямой.

Как и раньше, это параметрические уравнения линии в плоскости (в R2), но для нахождения параметрических уравнений линии в пространстве (в R3) пришлось бы добавить еще одно уравнение для третьей переменной Z:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

Непрерывное уравнение линии

Непрерывное уравнение любой линии можно вывести из ее параметрических уравнений:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Если мы очистим настройку

$t$

из каждого параметрического уравнения получаем следующие выражения:

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

E Приравнивая два полученных уравнения, получаем непрерывное уравнение линии:

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Короче говоря, непрерывное уравнение линии :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, образующей часть линии

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

Эта формула предназначена для непрерывного уравнения линии при работе в 2 измерениях (в 2D). Но если бы мы выполняли операции в трех измерениях (3D), нам нужно было бы добавить в уравнение линии дополнительный компонент:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

Неявное или общее уравнение линии

Ага

$\vv{\text{v}}$

— вектор направления линии и

$P$

точка, принадлежащая правому:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Формула неявного, общего или декартова уравнения линии :

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
коэффициент
$A$

– вторая составляющая вектора направления линии:

$A=\text{v}_2}$
коэффициент
$B$

– первая составляющая измененного знака вектора направления:

$B=-\text{v}_1}$
коэффициент
$C$

рассчитывается путем замены известной точки

$P$

в уравнении прямой.

формулу неявного уравнения прямой можно получить и перемножением дробей непрерывного уравнения.

Явное уравнение линии

Формула явного уравнения линии :

Золото:

$m$

это наклон линии.
$n$

его точка пересечения по оси Y, то есть высота, на которой он пересекает ось Y.

В разделе ниже вы увидите, как определяются параметры.

$m$

$n$

прямой Но, в частности, другой способ найти явное уравнение — использовать неявное уравнение; для этого неизвестное должно быть решено

$y$

неявного уравнения.

Значение параметров m и n

Как мы видели при определении явного уравнения линии, параметр

$m$

это наклон линии и

$n$

это y-перехват. Но что это значит? Давайте посмотрим на это на графическом представлении линии:

Термин «независимый»

$\bm{n}$

— точка пересечения линии с осью компьютера (ось OY). Например, на графике выше

$n$

равно 1, поскольку линия пересекает ось y в точке y=1.

С другой стороны, термин

$\bm{m}$

указывает наклон линии , то есть ее наклон. Как вы видите на графике,

$m$

равно 2, так как линия поднимается на 2 единицы по вертикали за 1 единицу по горизонтали.

Очевидно, что если наклон положителен, функция возрастает (уходит вверх), а если наклон отрицательный, функция убывает (уменьшается).

Вычислить наклон линии

Как только мы точно узнаем, что такое наклон линии, давайте посмотрим, как он рассчитывается. Таким образом, существует 3 различных способа численного определения наклона линии:

Даны две разные точки на прямой
$P_1(x_1,y_1)$

И

$P_2(x_2,y_2),$

Наклон линии равен:

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ага
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

– вектор направления линии, ее наклон:

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

Ага
$\alpha$

— угол, образованный линией с осью абсцисс (ось X), наклон линии эквивалентен тангенсу указанного угла:

$m = \text{tg}(\alpha )$

Уравнение точки-наклона линии

Формула уравнения точки-наклона линии :

Золото:

$m$

это наклон линии.
$P_1, P_2$

это координаты точки на прямой

$P(P_1,P_2).$

Каноническое или сегментное уравнение линии

Хотя этот вариант уравнения линии менее известен, каноническое уравнение линии можно получить из точек пересечения линии с декартовыми осями.

Пусть две точки пересечения с осями данной прямой будут:

Разрезать по оси X:

$(a,0)$

Разрез по оси Y:

$(0,b)$

Формула канонического уравнения линии :

В математике каноническое уравнение прямой еще называют сегментным уравнением или симметричным уравнением.

С другой стороны, коэффициенты

$a$

$b$

Их также можно найти из общего уравнения линии по следующим формулам:

$Ax+By+C=0$

$a = -\cfrac{C}{A} \qquad \qquad b = -\cfrac{C}{B}$

Все уравнения линии (формулы)

Вкратце, вот таблица, в которой показаны формулы всех уравнений линии:

Пример расчета уравнений линии

Теперь, когда мы увидели все объяснение уравнения прямой, давайте посмотрим, как решается типичная задача уравнений прямой:

Найдите все уравнения прямой, определяемой точкой
$P$

и вектор

$\vv{\text{v}}.$

$P(3,-1) \qquad \qquad \vv{\text{v}}=(2,4)$

Прежде всего находим векторное уравнение линии по его формуле:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

Просто подставьте координаты точки и вектора в формулу:

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{(x,y)=(3,-1)+t\cdot (2,4)} \quad \vphantom{\Bigl(}}$

Во-вторых, находим параметрические уравнения линии через соответствующую ей формулу:

$\begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \begin{cases} \bm{x=3+2t} \\[1.7ex] \bm{y=-1+4t} \end{cases} \quad \vphantom{\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}}} }$

А еще определяем непрерывное уравнение линии по его формуле:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-(-1)}{4}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \cfrac{\bm{x-3}}{\bm{2}}\bm{=}\cfrac{\bm{y+1}}{\bm{4}}\quad \vphantom{\Biggl(}}$

Как вы видели, векторные, параметрические и непрерывные уравнения легко вычислить, достаточно воспользоваться соответствующими формулами.

Перейдем теперь к нахождению общего (или неявного) уравнения линии. Для этого скрестим две дроби непрерывного уравнения:

$4\cdot (x-3)= 2 \cdot (y+1)$

$4x-12= 2y+2$

$4x-12-2y-2=0$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{4x-2y-14=0}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Теперь мы можем определить явное уравнение решения прямой относительно неизвестной

$y$

неявного уравнения:

$4x-2y-14=0$

$-2y=-4x+14$

$y=\cfrac{-4x+14}{-2}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{y=2x-7}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Следовательно, наклон линии равен 2 (слагаемое, сопровождающее независимую переменную

$x$

$m=2$

И благодаря этому мы можем вычислить уравнение наклона точки линии по его формуле:

$y-P_2=m(x-P_1)$

$y-(-1)=2(x-3)$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{y+1=2(x-3)}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Наконец, чтобы найти сегментное уравнение линии, мы вычисляем ее точки пересечения с осями OX и OY, а затем применяем его формулу:

$y=2x-7$

Точка пересечения с осью абсцисс (ось X)

$y=0$

$0=2x-7$

$-2x=-7$

$x=\cfrac{-7}{-2} = \cfrac{7}{2}$

$\displaystyle \left(\frac{7}{2}, 0\right)$

Точка пересечения с осью Y (ось Y)

$x=0$

$y=2\cdot 0-7$

$y=-7$

$\displaystyle \left(0,-7\right)$

$\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} = 1$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\cfrac{\bm{x}}{\frac{\bm{7}}{\bm{2}}}+\cfrac{\bm{y}}{\bm{-7}} \bm{= 1} \quad \vphantom{\Biggl(}}$

уравнение прямой, проходящей через две точки

Другая очень распространенная проблема в уравнениях линий — это нахождение уравнения линии, определяемой двумя заданными точками. Хотя мы можем рассчитать вектор направления линии с помощью двух точек, а затем уравнения, ниже мы предоставляем вам формулу, с помощью которой вы можете напрямую и легко найти уравнение указанной линии.

Рассмотрим две точки, расположенные на прямой:

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

Формула для нахождения уравнения линии по двум ее точкам :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) \end{empheq}$

Эта формула позволяет нам напрямую вычислить уравнение наклона точки для линии, когда нам даны 2 точки, через которые проходит линия.

Решенные задачи уравнений прямой

Упражнение 1

Найдите векторное уравнение, параметрические уравнения и непрерывное уравнение линии, определяемой точкой

$P$

и его направляющий вектор

$\vv{\text{v}}.$

Будьте обоими:

$P(0,3) \qquad \qquad \vv{\text{v}}=(-1,5)$

посмотреть решение

Сначала рассчитаем векторное уравнение линии по его формуле:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{(x,y)=(0,3)+t\cdot (-1,5)} \quad \vphantom{\Bigl(}}$

Затем находим параметрические уравнения линии, используя соответствующую формулу:

$\begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\begin{cases} x=0+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=3+t\cdot 5\end{cases}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \begin{cases} \bm{x=-t} \\[1.7ex] \bm{y=3+5t} \end{cases} \quad \vphantom{\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}}} }$

И, наконец, определяем непрерывное уравнение линии по соответствующей формуле:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-0}{-1}=\cfrac{y-3}{5}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \cfrac{\bm{x}}{\bm{-1}}\bm{=}\cfrac{\bm{y-3}}{\bm{5}}\quad \vphantom{\Biggl(}}$

Упражнение 2

Найдите неявное уравнение, явное уравнение и уравнение наклона точки линии, определяемой точкой.

$P$

и его вектор направления равен

$\vv{\text{v}}.$

$P(-4,3) \qquad \qquad \vv{\text{v}}=(2,6)$

посмотреть решение

Формула неявного уравнения линии:

$Ax+By+C=0$

Поэтому мы должны найти коэффициенты A, B и C. Неизвестные A и B получаются из координат вектора направления прямой, поскольку всегда проверяется следующее равенство:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Следовательно, коэффициент А является второй координатой вектора, а коэффициент В — первой координатой вектора с измененным знаком:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,6) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=6 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

Поэтому нам нужно найти только коэффициент C. Для этого мы должны подставить в ее уравнение точку, которая, как мы знаем, принадлежит прямой:

$P(-4,3)$

$6x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=-4 \ ; \ y=3} \ 6\cdot (-4)-2\cdot 3+C=0$

$-24-6+C=0$

$-30+C=0$

$C=30$

Итак, неявное, общее или декартово уравнение линии:

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{6x-2y+30=0}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Теперь мы можем определить явное уравнение решения прямой относительно неизвестной

$y$

неявного уравнения:

$6x-2y+30=0$

$-2y=-6x-30$

$y=\cfrac{-6x-30}{-2}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{y=3x+15}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Следовательно, наклон линии равен 3 (член перед независимой переменной

$x$

$m=3$

И по значению наклона линии мы можем вычислить уравнение наклона точки линии по его формуле:

$y-P_2=m(x-P_1)$

$y-3=3(x-(-4))$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{y-3=3(x+4)}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Упражнение 3

Определите 3 точки на следующей линии, выраженные в виде неявного или общего уравнения:

$4x+2y-8 = 0$

посмотреть решение

Чтобы вычислить точку на линии, нам просто нужно присвоить значение одной из переменных, а затем найти значение другой переменной в этой точке.

Мы вычисляем первую точку, выполнив

$x=0:$

$4\cdot 0+2y-8 = 0$

$2y = 8$

$y = \cfrac{8}{2}$

$y = 4$

$\bm{P_1(0,4)}$

Затем мы находим вторую точку, дающую другое значение переменной.

$x,$

Например

$x=1:$

$4\cdot 1+2y-8 = 0$

$2y = 8-4$

$2y = 4$

$y = \cfrac{4}{2}$

$y = 2$

$\bm{P_2(1,2)}$

И, наконец, вычисляем третью точку, решив

$x=2:$

$4\cdot 2+2y-8 = 0$

$2y = 8-8$

$2y = 0$

$y = \cfrac{0}{2}$

$y = 0$

$\bm{P_3(2,0)}$

Упражнение 4

Найдите все уравнения линии, определяемой точкой

$P$

и вектор

$\vv{\text{v}}.$

$P(-1,4) \qquad \qquad \vv{\text{v}}=(-3,6)$

посмотреть решение

Прежде всего находим векторное уравнение линии по его формуле:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{(x,y)=(-1,4)+t\cdot (-3,6)} \quad \vphantom{\Bigl(}}$

Во-вторых, находим параметрические уравнения линии через соответствующую ей формулу:

$\begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \begin{cases} \bm{x=-1-3t} \\[1.7ex] \bm{y=4+6t} \end{cases} \quad \vphantom{\cfrac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}}} }$

А еще определяем непрерывное уравнение линии по его формуле:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{-3}=\cfrac{y-4}{6}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \cfrac{\bm{x+1}}{\bm{-3}}\bm{=}\cfrac{\bm{y-4}}{\bm{6}}\quad \vphantom{\Biggl(}}$

Перейдем теперь к нахождению неявного или общего уравнения линии. Для этого скрестим две дроби непрерывного уравнения:

$6\cdot (x+1)= -3 \cdot (y-4)$

$6x+6= -3y+12$

$6x+6+3y-12=0$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{6x+3y-6=0}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Теперь мы можем определить явное уравнение решения прямой относительно неизвестной

$y$

неявного уравнения:

$6x+3y-6=0$

$3y=-6x+6$

$y=\cfrac{-6x+6}{3}$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad \bm{y=-2x+2}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Следовательно, наклон линии эквивалентен -2 (член, который сопровождает независимую переменную

$x$

$m=-2$

И благодаря этому мы можем вычислить уравнение наклона точки линии по его формуле:

$y-P_2=m(x-P_1)$

$y-4=-2(x-(-1))$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\bm{y-4=-2(x+1)}\quad \vphantom{\Bigl(}}$

Наконец, чтобы найти сегментное уравнение линии, вычисляем точки пересечения линии с осями OX и OY, затем используем его формулу:

$y=-2x+2$

Точка пересечения с осью абсцисс (ось X)

$y=0$

$0=-2x+2$

$2x=2$

$x=\cfrac{2}{2} =1$

$\displaystyle \left(1, 0\right)$

Точка пересечения с осью Y (ось Y)

$x=0$

$y=-2\cdot 0+2$

$y=2$

$\displaystyle \left(0,2\right)$

$\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} = 1$

$\definecolor{exemple}{HTML}{2196F3} \color{exemple} \boxed{ \color{black} \quad\cfrac{\bm{x}}{\bm{1}}+\cfrac{\bm{y}}{\bm{2}} \bm{= 1} \quad \vphantom{\Biggl(}}$

Упражнение 5

Найдите уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

посмотреть решение

Поскольку две точки на прямой нам уже известны, то непосредственно применим формулу уравнения прямой к 2 заданным точкам:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Теперь подставляем в формулу декартовы координаты точек:

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

И, наконец, вычисляем наклон линии:

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

Следовательно, уравнение линии, проходящей через эти две точки, имеет вид:

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

Каковы все уравнения прямой?

Векторное уравнение линии

Параметрические уравнения линии

Непрерывное уравнение линии

Неявное или общее уравнение линии

Явное уравнение линии

Значение параметров m и n

Вычислить наклон линии

Уравнение точки-наклона линии

Каноническое или сегментное уравнение линии

Все уравнения линии (формулы)

Пример расчета уравнений линии

уравнение прямой, проходящей через две точки

Решенные задачи уравнений прямой

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Оставьте комментарий Отменить ответ