Уравнение прямой, проходящей через две точки (формула)

Здесь вы найдете формулу, позволяющую быстро найти уравнение прямой, проходящей через две точки. Кроме того, вы сможете посмотреть примеры и потренироваться на решении упражнений уравнений линии, определяемой 2 точками.

Формула уравнения прямой, проходящей через две точки

Типичная задача уравнения линии заключается в вычислении уравнения линии, определяемой двумя заданными точками. Хотя существует несколько методов решения задач такого типа, вот формула, с помощью которой вы можете быстро и легко найти уравнение указанной линии:

Рассмотрим две точки, расположенные на прямой:

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

Формула для нахождения уравнения линии по двум ее точкам :

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Формула уравнения линии по двум ее точкам выводится из уравнения наклона точки линии :

$y-y_1= m (x-x_1)$

Поскольку наклон линии можно рассчитать по следующему выражению:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Получается, что в формуле уравнения заданы координаты двух точек:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Итак, чтобы определить уравнение прямой, достаточно знать две точки, через которые она проходит.

Пример, как найти уравнение прямой по двум точкам

Раз уж мы увидели, какая формула уравнения прямой приведена 2 пунктами выше, давайте теперь посмотрим, как решается типичное упражнение по уравнению прямой:

Каково уравнение прямой, проходящей через следующие две точки?

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

Поскольку мы уже знаем две точки, находящиеся на прямой, воспользуемся формулой непосредственно для расчета ее уравнения:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Теперь подставляем координаты точек в формулу:

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

И, наконец, вычисляем наклон линии:

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

Следовательно, уравнение линии, проходящей через эти две точки, имеет вид:

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

Поскольку утверждение не говорит нам иного, нет необходимости дополнительно упрощать уравнение прямой, даже если дробь осталась.

Решенные задачи уравнения прямой, проходящей через две точки

Упражнение 1

Найдите уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

посмотреть решение

Поскольку две точки на прямой нам уже известны, то непосредственно применим формулу уравнения прямой к 2 заданным точкам:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Теперь подставим в формулу декартовы координаты точек:

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

И, наконец, вычисляем наклон линии:

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

Следовательно, уравнение линии, проходящей через эти две точки, имеет вид:

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

Упражнение 2

Найдите уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

посмотреть решение

Поскольку мы уже знаем две точки, принадлежащие прямой, непосредственно воспользуемся формулой уравнения известной прямой с 2 точками:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Теперь подставляем координаты точек в формулу:

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

И наконец, выполняем операции:

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

Следовательно, уравнение линии, проходящей через эти две точки, имеет вид:

$\bm{y= -x-2}$

Упражнение 3

Не производя никаких расчетов, определите точку, лежащую на следующей прямой:

$y-2= 4(x+1)$

посмотреть решение

Точку на прямой можно вывести по формуле уравнения прямой, проходящей через 2 точки:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Координата Y точки будет членом перед переменной

$y$

изменился знак, а координатой X точки будет число в отрицательных скобках:

$\bm{P(-1,2)}$

Упражнение 4

Найдите третью точку на линии, которая определяется следующими двумя точками:

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

посмотреть решение

Сначала надо найти уравнение линии по формуле:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

И как только уравнение линии, проходящей через две точки, найдено, мы вычисляем третью точку, дающую любое значение одной из переменных. Например, мы будем

$x=0:$