Угол между двумя плоскостями в пространстве (формула)

На этой странице вы узнаете, как вычислить угол, образованный двумя плоскостями в пространстве (формула). Кроме того, вы сможете увидеть примеры и попрактиковаться на решенных упражнениях.

Формула угла между двумя плоскостями

Угол между двумя плоскостями равен углу, образованному векторами нормалей к указанным плоскостям. Поэтому для нахождения угла между двумя плоскостями вычисляется угол, образованный их векторами нормалей, поскольку они эквивалентны.

Итак, как только мы точно узнаем, что такое угол между двумя плоскостями, давайте посмотрим на формулу расчета угла между двумя плоскостями в пространстве (в R3), которая выводится из формулы угла между двумя векторами :

Учитывая общее (или неявное) уравнение двух разных плоскостей:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

Нормальный вектор каждой плоскости:

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

А угол, образованный этими двумя плоскостями, определяется путем вычисления угла, образованного их векторами нормалей, по следующей формуле:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Итак, чтобы определить угол между двумя плоскостями, необходимо освоить расчет скалярного произведения двух векторов . Если вы не помните, как это делалось, по ссылке вы найдете шаги по решению скалярного произведения двух векторов. Кроме того, вы сможете увидеть примеры и упражнения, решаемые шаг за шагом.

С другой стороны, когда две плоскости перпендикулярны или параллельны, нет необходимости применять формулу, поскольку угол между двумя плоскостями можно определить напрямую:

Угол между двумя параллельными плоскостями равен 0°, так как их нормали имеют одинаковое направление.
Угол между двумя перпендикулярными плоскостями равен 90°, поскольку их векторы нормалей также перпендикулярны (или ортогональны) друг другу и, следовательно, образуют прямой угол.

Пример расчета угла между двумя плоскостями

Вот конкретный пример, чтобы вы могли увидеть, как определить угол между двумя разными плоскостями:

Вычислите угол между следующими двумя плоскостями:

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

Первое, что нам нужно сделать, это найти вектор нормали каждой плоскости. Таким образом, координаты X, Y, Z вектора, перпендикулярного плоскости, совпадают соответственно с коэффициентами A, B и C его общего (или неявного) уравнения:

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

И как только мы узнаем вектор нормали к каждой плоскости, мы вычисляем угол, который они образуют, по формуле:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Поэтому мы должны найти величину каждого нормального вектора:

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

Теперь подставим значение каждого неизвестного в формулу:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

Мы вычисляем косинус угла, решив скалярное произведение двух векторов:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

И, наконец, определяем угол, выполнив обратный косинус с помощью калькулятора:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

Решенные задачи об угле между двумя плоскостями

Упражнение 1

Найдите угол между следующими двумя плоскостями:

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это найти вектор нормали каждой плоскости. Таким образом, координаты X, Y, Z вектора, перпендикулярного плоскости, эквивалентны соответственно коэффициентам A, B и C его общего (или неявного) уравнения:

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

Зная вектор нормали каждой плоскости, мы вычисляем угол, который они образуют, по формуле:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Поэтому мы должны найти величину каждого нормального вектора:

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

Подставляем значение каждого неизвестного в формулу:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

Вычисляем косинус угла:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

И, наконец, находим угол между двумя плоскостями, инвертируя косинус с помощью калькулятора:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

Упражнение 2

Каков угол между следующими двумя плоскостями?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это найти вектор нормали каждой плоскости. Таким образом, координаты X, Y, Z вектора, перпендикулярного плоскости, соответственно равны параметрам A, B и C его общего (или неявного) уравнения:

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

Зная вектор нормали каждой плоскости, мы вычисляем угол, который они образуют, по формуле:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Поэтому мы должны найти величину каждого нормального вектора:

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

Подставляем значение каждой переменной в формулу:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

Вычисляем косинус угла:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$

И, наконец, определяем угол, инвертируя косинус калькулятором:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,17)=\bm{80,36º}$

Упражнение 3

Рассчитать значение параметра

$k$

так, что следующие две плоскости перпендикулярны:

$\pi_1 : \ x+2y-3z+1=0$

$\pi_2 : \ -2x+5y+kz+4=0$

посмотреть решение

Прежде всего, чтобы вычислить углы между плоскостями, вам всегда нужно найти вектор нормали к каждой плоскости:

$\vv{n}_1 = (1,2,-3)$

$\vv{n}_2 = (-2,5,k)$

Две перпендикулярные плоскости составляют угол 90°, поэтому их нормали также будут равны 90°. Таким образом, мы можем определить ценность неизвестного.

$k$

с формулой угла между двумя векторами:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$