Тригонометрические пределы

Здесь вы узнаете, как решать тригонометрические пределы. Вы сможете увидеть несколько примеров пределов тригонометрических функций и даже попрактиковаться, решая пошаговые упражнения по тригонометрическим пределам.

Что такое тригонометрические пределы?

Тригонометрические пределы — это пределы, рассчитанные для тригонометрических функций. Для решения тригонометрических пределов необходимо применить предварительную процедуру, поскольку они обычно приводят к неопределенностям.

Кроме того, бесконечных пределов тригонометрических функций не существует, поскольку они являются периодическими функциями. То есть его графики непрерывно периодически повторяются, не стремясь к определенному значению.

Тригонометрические предельные формулы

Все тригонометрические пределы рассчитываются по следующим двум формулам:

Если мы попытаемся вычислить предел путем подстановки, мы получим нулевую неопределенность между нулями:

Но эту тригонометрическую формулу можно продемонстрировать, рассчитав значения функции ближе и ближе к x=0 (углы в радианах).

Два боковых предела тригонометрической функции дают 1, поэтому предел в точке x=0 равен 1:

Таким образом, тригонометрический предел синуса x, деленного на x при стремлении x к 0, равен 1.

Эту формулу также можно применить для нескольких углов:

Если мы попытаемся найти предел прямой подстановкой, мы получим неопределенную форму нуля между нулями:

Но мы можем проверить равенство по приведенной выше формуле. Для этого необходимо сначала числитель и знаменатель дроби умножить на 1 плюс косинус х:

Теперь у нас есть заметная идентичность числителя дроби, поэтому мы можем его упростить:

Отталкиваясь от основного тригонометрического тождества, перепишем числитель:

Таким образом, мы можем преобразовать дробь в произведение дробей:

Используя свойства пределов, мы можем преобразовать приведенное выше выражение в произведение пределов:

Используя приведенную выше формулу, мы можем легко упростить тригонометрический предел:

И, наконец, вычисляем получившийся лимит:

Таким образом, проверяется формула тригонометрического предела:

Как и другую формулу, ее также можно использовать для нескольких углов:

Следовательно, чтобы решить тригонометрические пределы, мы должны использовать арифметику, чтобы преобразовать функции и получить выражения, подобные этим. Таким образом, мы можем использовать одну из двух формул и найти значение предела.

С другой стороны, иногда нам может потребоваться применить определенные тригонометрические тождества, поэтому мы оставляем все приведенные ниже формулы на ваше усмотрение.

Формула, связывающая три основных тригонометрических отношения:

Основное тригонометрическое тождество:

Тригонометрические соотношения, выведенные из фундаментальных:

Противоположные углы:

Сумма двух углов:

Разница двух углов:

Двойной угол:

Половина угла:

Сложение и вычитание синуса и косинуса:

Произведение синусов и косинусов:

Чтобы вы могли увидеть, как именно рассчитываются тригонометрические пределы, мы собрали пошаговый пример ниже.

Пример тригонометрического предела

Давайте посмотрим, как решается тригонометрический предел, на следующем примере:

Пытаясь вычислить тригонометрический предел, получаем неопределенность нуля между нулями:

➤ См.: нулевые пределы между нулевым

Поэтому для решения предела необходимо преобразовать тригонометрическую функцию. Тангенс равен синусу, разделенному на косинус, поэтому:

Теперь мы можем выразить функцию в виде произведения, применив свойства дробей:

Используя свойства пределов, мы можем преобразовать предел двух умноженных функций в произведение двух пределов:

Как мы показали выше, первый тригонометрический предел дает 1:

Итак, просто выполните следующий расчет:

Решенные упражнения на тригонометрические пределы

Упражнение 1

Решите следующий тригонометрический предел:

Сначала попытаемся вычислить тригонометрический предел прямым вычислением:

Но мы получаем нулевую неопределенность. Итак, нам нужно применить преобразования к функции.

Во-первых, мы просто оставим x в знаменателе, выполнив следующие действия:

Теперь умножим и разделим дробь на 4, чтобы получить выражение, с помощью которого можно применить первую формулу тригонометрических пределов:

Наконец, мы применяем формулу, показанную в начале, и решаем тригонометрический предел:

Упражнение 2

Вычислите следующий тригонометрический предел:

Сначала попытаемся найти тригонометрический предел:

Но неопределенная форма соответствует нулю.

Затем преобразуем тангенс в частное синуса и косинуса:

Умножаем и делим на косинус x:

Берем общий множитель в числителе и разделяем тригонометрический предел на два:

И, наконец, находим результат тригонометрического предела:

Упражнение 3

Решите предел следующей тригонометрической функции, когда x приближается к нулю:

Выполняя прямой расчет, мы получаем неопределенный предел 0 между 0:

Таким образом, мы упростим предел, разделив каждое слагаемое на тангенс x:

Во-вторых, мы можем вывести из фундаментального тригонометрического тождества, что дробь числителя эквивалентна косинусу x:

А применив вторую формулу, продемонстрированную в теории тригонометрических пределов, мы легко можем решить этот предел:

Упражнение 4

Определите решение следующего тригонометрического предела в точке x=0:

Если мы попытаемся решить предел, мы найдем неопределенную форму 0/0:

Алгебраическое выражение для числителя можно переписать, используя тригонометрическое тождество синуса двойного угла:

Теперь разделим предел тригонометрической функции на произведение:

И, наконец, решаем тригонометрический предел, применяя свойства пределов: