Точки перегиба функции

Здесь мы объясним, что такое точка перегиба функции и как найти все точки перегиба функции. Дополнительно вы найдете пошаговые упражнения на кривизну и точки перегиба функции.

Каковы точки перегиба функции?

Точками перегиба функции являются точки, в которых график функции меняет кривизну, то есть в точке перегиба функция меняет форму с вогнутой на выпуклую или наоборот.

Как определить, есть ли у функции точка перегиба

Учитывая определение точки перегиба, давайте посмотрим, как узнать, является ли определенная точка точкой перегиба функции.

Функция имеет точку перегиба в точках, которые сокращают ее вторую производную, а ее третья производная не равна нулю.

\left.\begin{array}{l}f''(a)=0\\[2ex]f'''(a)\neq 0\end{array}\right\} \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un punto de inflexi\'on}

В качестве примера вычислим точки перегиба следующей функции третьей степени:

f(x)=x^3-5x

Сначала вычисляем вторую и третью производные функции:

f'(x)=3x^2-5

f''(x)=6x

f'''(x)=6

Теперь приравняем вторую производную к 0 и решим полученное уравнение:

6x=0

x=0

Тогда точка x=0 будет точкой перегиба функции, если третья производная в этой точке не равна нулю. В нашем случае третья производная всегда равна 6.

f'''(0)=6\neq 0

Следовательно, x=0 является точкой перегиба функции.

Как изучить кривизну и найти точки перегиба функции

Мы только что рассмотрели метод нахождения поворотных точек. Однако мы обычно склонны изучать кривизну функции, то есть определять вогнутость и выпуклость функции, а затем вычислять точки перегиба.

Чтобы найти точки перегиба функции через ее кривизну, необходимо выполнить следующие действия:

  1. Найдите точки, не принадлежащие области определения функции.
  2. Вычислите первую производную и вторую производную функции.
  3. Найдите корни второй производной , то есть вычислите точки, которые сокращают вторую производную, решив

    f''(x)=0

    .

  4. Сделайте интервалы между корнями производной и точками, не принадлежащими области определения функции.
  5. Вычислите значение второй производной в точке каждого интервала.
  6. Знак второй производной определяет вогнутость или выпуклость функции на этом интервале:
    • Если вторая производная функции положительна, то функция выпуклая на этом интервале.
    • Если вторая производная функции отрицательна, функция на этом интервале вогнутая .
  7. Точки перегиба — это точки, в которых функция меняет форму с выпуклой на вогнутую или наоборот.

Чтобы вы могли увидеть, как вычисляются точки перегиба функции с помощью этой процедуры, мы пошагово решим пример ниже:

  • Изучите кривизну и найдите точки перегиба следующей полиномиальной функции:

f(x)=x^4-6x^2

Первое, что нужно сделать, это вычислить область определения функции. Это полиномиальная функция, поэтому область определения функции состоит из действительных чисел, то есть это непрерывная функция:

\text{Dom } f= \mathbb{R}

После того как мы вычислили область определения функции, нам необходимо изучить, в каких точках она выполняется.

f''(x)=0

.

Поэтому сначала вычисляем первую производную функции:

f(x)=x^4-6x^2 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x^3-12x

Далее вычисляем вторую производную функции:

f'(x)=4x^3-12x \ \longrightarrow \ f''(x)= 12x^2-12

А теперь приравняем вторую производную к 0 и решим уравнение:

f''(x)=0

12x^2-12=0

12x^2=12

x^2=\cfrac{12}{12}

x^2=1

\sqrt{x^2}=\sqrt{1}

x=\pm1

После того, как мы вычислили область определения функции и

f''(x)=0

, представим все найденные критические точки на числовой прямой:

А теперь мы оцениваем знак второй производной в каждом интервале, чтобы узнать, является ли функция вогнутой или выпуклой. Поэтому мы берем точку в каждом интервале (никогда не критические точки) и смотрим, какой знак имеет вторая производная в этой точке:

f''(x)=12x^2-12

f''(-2) = 12\cdot (-2)^2-12 =36 \  \rightarrow \ \bm{+}

f''(0) = 12\cdot 0^2-12 = -12 \  \rightarrow \ \bm{-}

f''(2) = 12\cdot 2^2-12=36 \  \rightarrow \ \bm{+}

Если вторая производная положительна, это означает, что функция выпуклая.

(\bm{\cup})

, и если вторая производная отрицательна, это означает, что функция вогнутая

(\bm{\cap})

. Следовательно, интервалы вогнутости и выпуклости функции равны:

Выпуклый

(\bm{\cup})

:

\bm{(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)}

Вогнутый

(\bm{\cap})

:

\bm{(-1,1)}

Кроме того, при x=-1 функция переходит от выпуклой к вогнутой, поэтому x=-1 является точкой перегиба функции . А при x=1 функция переходит от вогнутой к выпуклой, поэтому x=1 также является точкой перегиба функции.

Наконец, подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y точек перегиба:

f(-1)=(-1)^4-6(-1)^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (-1,-5)

f(1)=1^4-6\cdot 1^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (1,-5)

Таким образом, поворотными моментами функции являются:

Поворотные моменты:

\bm{(-1,-5)}

И

\bm{(1,-5)}

Ниже вы можете увидеть графическое представление изучаемой функции:

точки перегиба функции

Как видно из графика, функция идет из выпуклой

(\cup)

быть вогнутым

(\cap)

О

(-1,-5)

так как его кривизна меняется. А с другой стороны, функция идет от вогнутой

(\cap)

быть выпуклым

(\cup)

О

(1,-5)

.

Решаемые поворотные упражнения

Упражнение 1

Рассчитайте интервалы вогнутости и выпуклости, а также точки перегиба следующей показательной функции:

f(x) = xe^x

Упражнение 2

Изучите интервалы вогнутости и выпуклости и найдите точки перегиба следующей рациональной функции:

\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}

Упражнение 3

Мы знаем, что функция

f(x)=x^3+ax^2+bx+c

пройти через точку

(3,1)

, имеет относительный экстремум в

x=1

и поворотный момент в

x = 2

. На основе этой информации рассчитайте значения параметров.

a, b

И

c

.

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *