Здесь мы объясним, что такое точка перегиба функции и как найти все точки перегиба функции. Дополнительно вы найдете пошаговые упражнения на кривизну и точки перегиба функции.
Каковы точки перегиба функции?
Точками перегиба функции являются точки, в которых график функции меняет кривизну, то есть в точке перегиба функция меняет форму с вогнутой на выпуклую или наоборот.
Как определить, есть ли у функции точка перегиба
Учитывая определение точки перегиба, давайте посмотрим, как узнать, является ли определенная точка точкой перегиба функции.
Функция имеет точку перегиба в точках, которые сокращают ее вторую производную, а ее третья производная не равна нулю.
![Rendered by QuickLaTeX.com \left.\begin{array}{l}f''(a)=0\\[2ex]f'''(a)\neq 0\end{array}\right\} \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un punto de inflexi\'on}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0deb5fc13e20049e642bdc68a5c35a8c_l3.svg)
В качестве примера вычислим точки перегиба следующей функции третьей степени:

Сначала вычисляем вторую и третью производные функции:



Теперь приравняем вторую производную к 0 и решим полученное уравнение:


Тогда точка x=0 будет точкой перегиба функции, если третья производная в этой точке не равна нулю. В нашем случае третья производная всегда равна 6.

Следовательно, x=0 является точкой перегиба функции.
Как изучить кривизну и найти точки перегиба функции
Мы только что рассмотрели метод нахождения поворотных точек. Однако мы обычно склонны изучать кривизну функции, то есть определять вогнутость и выпуклость функции, а затем вычислять точки перегиба.
Чтобы найти точки перегиба функции через ее кривизну, необходимо выполнить следующие действия:
- Найдите точки, не принадлежащие области определения функции.
- Вычислите первую производную и вторую производную функции.
- Найдите корни второй производной , то есть вычислите точки, которые сокращают вторую производную, решив

.
- Сделайте интервалы между корнями производной и точками, не принадлежащими области определения функции.
- Вычислите значение второй производной в точке каждого интервала.
- Знак второй производной определяет вогнутость или выпуклость функции на этом интервале:
- Если вторая производная функции положительна, то функция выпуклая на этом интервале.
- Если вторая производная функции отрицательна, функция на этом интервале вогнутая .
- Точки перегиба — это точки, в которых функция меняет форму с выпуклой на вогнутую или наоборот.
Чтобы вы могли увидеть, как вычисляются точки перегиба функции с помощью этой процедуры, мы пошагово решим пример ниже:
- Изучите кривизну и найдите точки перегиба следующей полиномиальной функции:

Первое, что нужно сделать, это вычислить область определения функции. Это полиномиальная функция, поэтому область определения функции состоит из действительных чисел, то есть это непрерывная функция:

После того как мы вычислили область определения функции, нам необходимо изучить, в каких точках она выполняется.

.
Поэтому сначала вычисляем первую производную функции:

Далее вычисляем вторую производную функции:

А теперь приравняем вторую производную к 0 и решим уравнение:







После того, как мы вычислили область определения функции и

, представим все найденные критические точки на числовой прямой:
А теперь мы оцениваем знак второй производной в каждом интервале, чтобы узнать, является ли функция вогнутой или выпуклой. Поэтому мы берем точку в каждом интервале (никогда не критические точки) и смотрим, какой знак имеет вторая производная в этой точке:




Если вторая производная положительна, это означает, что функция выпуклая.

, и если вторая производная отрицательна, это означает, что функция вогнутая

. Следовательно, интервалы вогнутости и выпуклости функции равны:
Выпуклый

:

Вогнутый

:

Кроме того, при x=-1 функция переходит от выпуклой к вогнутой, поэтому x=-1 является точкой перегиба функции . А при x=1 функция переходит от вогнутой к выпуклой, поэтому x=1 также является точкой перегиба функции.
Наконец, подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y точек перегиба:


Таким образом, поворотными моментами функции являются:
Поворотные моменты:

И

Ниже вы можете увидеть графическое представление изучаемой функции:
Как видно из графика, функция идет из выпуклой

быть вогнутым

О

так как его кривизна меняется. А с другой стороны, функция идет от вогнутой

быть выпуклым

О

.
Решаемые поворотные упражнения
Упражнение 1
Рассчитайте интервалы вогнутости и выпуклости, а также точки перегиба следующей показательной функции:

Посмотреть решение
Первое, что нужно сделать, это вычислить область определения функции. Функция состоит из полиномиальной функции (x), область определения которой состоит только из действительных чисел, и экспоненциальной функции ( ex ), область определения которой также состоит из действительных чисел. Следовательно, область определения функции состоит из действительных чисел:

Теперь вычислим производную функции. В данном случае функция состоит из произведения двух функций, поэтому для получения функции нам нужно применить формулу производной произведения:


Далее вычисляем вторую производную функции:


Положим вторую производную равной 0 и решим уравнение:


Выделим общий множитель:

Чтобы умножение было равно 0, один из двух элементов умножения должен быть нулем. Поэтому мы устанавливаем каждый фактор равным 0:
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle e^x\cdot(2+x) =0 \longrightarrow \begin{cases} e^x=0 \ \color{red}\bm{\times}\color{black} \\[2ex] 2+x=0 \ \longrightarrow \ x= - 2 \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4b369d45e5559de1f7069b49db2d173_l3.svg)
Число, возведенное в другое, никогда не может дать 0. Следовательно, уравнение

Решения нет.
Все полученные особые точки представим справа:
А теперь мы оцениваем знак второй производной в каждом интервале, чтобы узнать, является ли функция вогнутой или выпуклой. Для этого возьмем точку в каждом интервале и посмотрим, какой знак имеет вторую производную в этой точке:


Если вторая производная положительна, это означает, что функция выпуклая.

, и если вторая производная отрицательна, это означает, что функция вогнутая

. Следовательно, интервалы вогнутости и выпуклости равны:
Выпуклый

:

Вогнутый

:

Кроме того, функция меняется с вогнутой на выпуклую при x=-2, поэтому x=-2 является точкой перегиба функции.
Наконец, мы подставляем найденную точку перегиба в исходную функцию, чтобы найти координату Y точки:

В заключение, единственными поворотными моментами функции являются:
Поворотные моменты:

Упражнение 2
Изучите интервалы вогнутости и выпуклости и найдите точки перегиба следующей рациональной функции:

Посмотреть решение
Сначала нам нужно вычислить область определения функции. Поскольку это рациональная функция, мы приравниваем знаменатель к нулю, чтобы увидеть, какие числа не принадлежат области определения функции:




Это означает, что когда x равен -2 или +2, знаменатель будет равен 0. И, следовательно, функция не будет существовать. Таким образом, область определения функции состоит из всех чисел, кроме x=-2 и x=+2.

Во-вторых, вычисляем первую производную функции:


И затем решаем вторую производную:


Все члены умножаются на

. Таким образом, мы можем упростить дробь:





Теперь вычислим корни второй производной функции:


Термин

Это предполагает деление всей левой части, чтобы мы могли умножить ее на всю правую часть:


Выделим общий множитель:

Чтобы умножение было равно 0, один из двух элементов умножения должен быть нулем. Поэтому мы устанавливаем каждый фактор равным 0:
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31adba554b44aa92fd7227506440ccaf_l3.svg)

Решения нет, поскольку из действительного числа нет отрицательного корня.
Теперь мы представим на прямой все полученные критические точки, то есть точки, которые не принадлежат области определения (x=-2 и x=+2) и те, которые сокращают вторую производную (x=0):
И мы оцениваем знак второй производной в каждом интервале, чтобы узнать, является ли функция вогнутой или выпуклой. Итак, мы берем точку в каждом интервале и смотрим, какой знак имеет вторая производная в этой точке:




Если вторая производная положительна, это означает, что функция выпуклая.

, и если вторая производная отрицательна, это означает, что функция вогнутая

. Следовательно, интервалы вогнутости и выпуклости равны:
Выпуклый

:

Вогнутый

:

Функция меняет кривизну в трех точках, поэтому рациональная функция в принципе будет иметь три точки перегиба: x=-2, x=0 и x=2. Однако, хотя и происходит изменение кривизны при x=-2 и x=+2, это не точки перегиба, поскольку они не принадлежат области определения функции. С другой стороны, при x=0 происходит изменение кривизны, и это принадлежит функции, поэтому x=0 является единственной точкой перегиба функции.
Остаётся только вычислить координату Y точки перегиба:

Короче говоря, единственной точкой перегиба рациональной функции является начало координат:
Поворотные моменты:

Упражнение 3
Мы знаем, что функция

пройти через точку

, имеет относительный экстремум в

и поворотный момент в

. На основе этой информации рассчитайте значения параметров.

И

.
Посмотреть решение
Пусть функция имеет точку перегиба в точке

Значит это

. Поэтому вычисляем вторую производную функции в

и мы устанавливаем его равным 0:


![Rendered by QuickLaTeX.com \left. \begin{array}{l} f''(2)=6\cdot 2+2a\\[2ex] f''(2)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 6\cdot 2+2a=0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-428d0d2aa58a4f0bee3155e72060aee4_l3.svg)
И решаем полученное уравнение, чтобы найти значение параметра а:





Таким образом, функция будет:

Кроме того, функция имеет экстремум

, Которое значит что

. Поэтому вычисляем первую производную функции в

и мы устанавливаем его равным 0:

![Rendered by QuickLaTeX.com \left. \begin{array}{l} f'(1)=3\cdot 1^2-12\cdot 1+b\\[2ex] f'(1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 3\cdot 1^2-12\cdot 1+b=0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-561b9c2aa6ba34d90df560c5a97e3a92_l3.svg)
И решаем полученное уравнение, чтобы найти значение неизвестного b:





Таким образом, функция будет:

С другой стороны, они говорят нам, что функция проходит через точку (3,1). Это сказать,

. Следовательно, мы можем применить это условие, чтобы найти значение параметра c:
![Rendered by QuickLaTeX.com \left. \begin{array}{l} f(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot3+c \\[2ex] f(3)=1 \end{array} \right\} \longrightarrow 3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+c = 1](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b496beb319ccab8292181ec1387ba9f0_l3.svg)
И решаем полученное уравнение, чтобы найти значение






Таким образом, функция будет:
