Расстояние между двумя пересекающимися прямыми (формула)

На этой странице вы узнаете, как определить расстояние между двумя пересекающимися прямыми (формула). Кроме того, вы сможете увидеть примеры и потренироваться на решенных упражнениях на расстояние между пересекающимися линиями.

Что такое две пересекающиеся прямые?

Прежде чем рассмотреть, как рассчитывается расстояние между двумя пересекающимися линиями, очень кратко напомним, в чем именно состоит этот вид взаимного расположения двух линий:

Две пересекающиеся линии, также называемые пересекающимися линиями, — это две отдельные линии, имеющие разные направления и не пересекающиеся ни в одной точке . Следовательно, две пересекающиеся линии не лежат в одной плоскости.

расстояние между двумя линиями, которые пересекают 2 ячейки

Например, в графическом представлении над линией

$s$

всегда впереди линии

$r$

, поэтому они никогда не будут касаться друг друга.

Как рассчитать расстояние между двумя пересекающимися линиями

Существует несколько методов определения расстояния между двумя пересекающимися линиями в пространстве. На этой странице мы объясним только одну процедуру, самую простую, поскольку два других метода более длительны и сложны и фактически используются редко.

Пусть вектор направления и любая точка двух пересекающихся прямых будут:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

Формула расстояния между двумя пересекающимися линиями :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Золото

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

— абсолютное значение смешанного произведения векторов

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

и вектор, определяемый точками

$A$

$B$

. И с другой стороны,

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

— это величина векторного произведения векторов направления двух пересекающихся линий.

Следовательно, чтобы найти расстояние между двумя пересекающимися линиями, вам нужно знать, как вычислить тройное скалярное произведение (или смешанное произведение трех векторов) и векторное произведение (или векторное произведение двух векторов). Посмотреть, как это делалось, можно по предыдущим ссылкам, где вы найдете соответствующие формулы, примеры и решенные упражнения.

Пример того, как найти расстояние между двумя пересекающимися прямыми

Чтобы вы увидели, как определить расстояние между двумя пересекающимися линиями, на примере решим задачу:

Каково расстояние между двумя следующими пересекающимися прямыми?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

Во-первых, нам нужно определить вектор направления и точку на каждой линии. Две линии выражаются в виде непрерывного уравнения, поэтому:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

А теперь применим формулу расстояния между двумя пересекающимися линиями:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

С одной стороны решаем смешанный продукт:

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

И, с другой стороны, находим величину векторного произведения:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

Наконец, подставляем значение каждого слагаемого в формулу расстояния между двумя пересекающимися линиями:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

Решение задач о расстоянии между двумя пересекающимися прямыми

Упражнение 1

Найдите расстояние между следующими двумя линиями, пересекающимися в одной точке:

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

посмотреть решение

Сначала нам нужно найти вектор направления и точку на каждой прямой. Две линии определены в виде непрерывного уравнения, поэтому:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

А теперь воспользуемся формулой расстояния между двумя пересекающимися линиями:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Определяем смешанный продукт:

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

Далее вычисляем величину векторного произведения:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

И наконец, подставляем значение каждого слагаемого в формулу расстояния между двумя пересекающимися линиями:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

Упражнение 2

Рассчитайте расстояние между двумя пересекающимися линиями:

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

посмотреть решение

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

А теперь воспользуемся формулой расстояния между двумя пересекающимися линиями:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Определяем смешанный продукт:

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

Далее вычисляем величину векторного произведения:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

И наконец, подставляем значение каждого неизвестного в формулу расстояния между двумя пересекающимися линиями:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

Упражнение 3

Найдите расстояние между двумя пересекающимися прямыми:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

посмотреть решение

Сначала нам нужно найти вектор направления и точку на каждой прямой. право

$r$

находится в виде параметрических уравнений и линии

$s$

в виде векторного уравнения, поэтому:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

А теперь воспользуемся формулой расстояния между двумя пересекающимися линиями:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Определим тройное скалярное произведение:

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

Далее вычисляем величину векторного произведения:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

Что такое две пересекающиеся прямые?

Как рассчитать расстояние между двумя пересекающимися линиями

Пример того, как найти расстояние между двумя пересекающимися прямыми

Решение задач о расстоянии между двумя пересекающимися прямыми

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Оставьте комментарий Отменить ответ