Вычислить ранг матрицы по определителям

На этой странице вы увидите, что это такое и как вычислить диапазон матрицы по определителям. Кроме того, вы найдете примеры и решенные упражнения, которые помогут легко найти размер матрицы. Кроме того, вы также увидите свойства диапазона матрицы.

Каков ранг матрицы?

Определение диапазона матрицы:

Ранг матрицы — это порядок наибольшего квадрата подматрицы, определитель которой отличен от 0.

На этой странице мы узнаем о диапазоне матрицы методом определителей, но диапазон матрицы можно определить и методом Гаусса, хотя он медленнее и сложнее.

Как только мы узнаем, что такое диапазон матрицы, мы увидим, как найти диапазон матрицы с помощью определителей. Но имейте в виду, что для определения размера матрицы сначала нужно научиться вычислять определители 3х3 .

Как узнать размер матрицы? Пример:

Вычислите размер следующей матрицы размером 3×4:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)$

Мы всегда начинаем с попытки определить, имеет ли матрица максимальный ранг, путем нахождения наибольшего определителя порядка. И, если определитель этого порядка равен 0, мы продолжим проверять определители более низкого порядка, пока не найдём другой, отличный от 0.

В данном случае это матрица размерности 3×4. Следовательно, она будет не более ранга 3 , поскольку мы не можем создать какой-либо определитель порядка 4. Поэтому мы берем любую подматрицу 3×3 и проверяем, равен ли ее определитель 0. Например, мы решаем определитель первых трех столбцов с помощью правило Сарруса:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}$

Определитель столбцов 1, 2 и 3 равен 0. Теперь мы должны попробовать другой определитель, например, определитель столбцов 1, 2 и 4:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}$

Это также дало нам 0. Поэтому мы продолжаем проверять определители порядка 3, чтобы увидеть, есть ли они, отличные от 0. Теперь мы проверяем определитель, образованный столбцами 1, 3 и 4:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}$

Из определителей порядка 3 просто попробуйте определитель, составленный из столбцов 2, 3 и 4:

$\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}$

Мы уже перепробовали все возможные определители 3×3 матрицы A, и поскольку ни один из них не отличается от 0, матрица не имеет ранга 3 . Поэтому максимум это будет ранг 2.

$\displaystyle rg(A) < 3$

Теперь мы посмотрим, имеет ли матрица ранг 2. Для этого мы должны найти квадратную подматрицу порядка 2, определитель которой отличен от 0. Попробуем подматрицу 2×2 в левом верхнем углу:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}$

В матрице мы нашли определитель второго порядка, отличный от 0. Следовательно, матрица имеет ранг 2:

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Решенные проблемы с областью действия матрицы

Упражнение 1

Определите ранг следующей матрицы 2×2:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала вычислим определитель всей матрицы:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}$

Мы нашли определитель 2-го порядка, отличный от 0. Следовательно, матрица имеет ранг 2.

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Упражнение 2

Найдите размер следующей матрицы размерности 2 × 2:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала находим определитель всей матрицы:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}$

Единственный возможный определитель 2×2 дает 0, значит матрица не имеет ранга 2.

Но внутри матрицы есть определители 1х1, отличные от 0, например:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}$

Таким образом, матрица имеет ранг 1.

$\displaystyle \bm{rg(A)=1}$

Упражнение 3

Каков размер следующей квадратной матрицы 3х3?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала по правилу Саррюса вычисляется определитель всей матрицы:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}$

Единственный возможный определитель 3×3 дает 0, значит матрица не имеет ранга 3.

Но внутри матрицы есть определители порядка 2, отличного от 0, например:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}$

Следовательно, матрица имеет ранг 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Упражнение 4

Вычислите ранг следующей матрицы порядка 3:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала определитель всей матрицы решается по правилу Саррюса:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}$

Определитель всей матрицы имеет значение, отличное от 0. Следовательно, матрица имеет максимальный ранг, то есть ранг 3.

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Упражнение 5

Каков ранг следующей матрицы третьего порядка?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала по правилу Саррюса вычисляется определитель всей матрицы:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}$

Единственный возможный определитель 3×3 дает 0, значит матрица не имеет ранга 3.

Но внутри матрицы есть определители 2 × 2, отличные от 0, например:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}$

Таким образом, матрица имеет ранг 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Упражнение 6

Найдите размер следующей матрицы 3×4:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Матрица не может иметь ранг 4, потому что мы не можем составить определители 4×4. Итак, давайте проверим, имеет ли он ранг 3, вычислив определители 3×3:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}$

Определитель первых трех столбцов дает 0. Однако определитель последних трех столбцов дает нечто иное, чем 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}$

Итак, поскольку внутри находится подматрица порядка 3, определитель которой отличен от 0, то матрица имеет ранг 3 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Упражнение 7

Вычислите диапазон следующей матрицы 4×3:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}$

посмотреть решение

Матрица не может иметь ранг 4, поскольку мы не можем разрешить ни один определитель 4×4. Итак, давайте проверим, имеет ли он ранг 3, выполнив все возможные определители 3×3:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

Поскольку все возможные определители 3×3 дают 0, матрица также не имеет ранга 3. Теперь попробуем определители 2×2:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}$

Поскольку внутри матрицы A существует подматрица порядка 2, определитель которой отличен от 0, матрица имеет ранг 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Упражнение 8

Найдите диапазон следующей матрицы 4 × 4:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}$

посмотреть решение

Мы должны решить определитель всей матрицы, чтобы увидеть, имеет ли она ранг 4.

А чтобы решить определитель 4х4, необходимо сначала проделать операции со строками, чтобы преобразовать все элементы столбца, кроме одного, в ноль:

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

Теперь вычислим определитель по заместителям:

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Упрощаем условия:

$=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

Вычисляем сопряженное к 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}$

И, наконец, вычисляем определитель 3х3 с помощью правила Сарруса и калькулятора:

$\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{0}$

Определитель всей матрицы 4×4 дает 0, поэтому матрица A не будет иметь ранг 4. Итак, теперь давайте посмотрим, есть ли внутри нее определитель 3×3, отличный от 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}$

Таким образом, матрица A имеет ранг 3:

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Свойства диапазона матрицы

Диапазон не изменяется, если мы удаляем строку, заполненную нулями, столбец или строку, заполненную 0.

Диапазон матрицы не изменится, если мы изменим порядок двух параллельных строк, независимо от того, являются ли они строками или столбцами.

Ранг матрицы такой же, как и у ее транспонирования.

Если вы умножите строку или столбец на число, отличное от 0, ранг матрицы не изменится.

Диапазон оттенка не меняется, когда мы удаляем линию (строку или столбец), которая представляет собой линейную комбинацию других линий, параллельных ей.

Диапазон матрицы не изменится, если мы добавим другие строки параллельно любой из строк (строк или столбцов), умноженных на любое число. Поэтому ранг матрицы также можно вычислить методом Гаусса.

Каков ранг матрицы?

Как узнать размер матрицы? Пример:

Решенные проблемы с областью действия матрицы

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Упражнение 6

Упражнение 7

Упражнение 8

Свойства диапазона матрицы

Оставьте комментарий Отменить ответ