▷ Цепное правило (производные): решенные упражнения

Здесь вы узнаете, что такое цепное правило и как выводить функции с помощью цепного правила. Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров производных, решенных с помощью цепного правила, и даже сможете попрактиковаться в пошаговых упражнениях по решению производных с применением цепного правила.

Что такое правило цепочки?

Цепное правило — это формула, используемая для вывода сложных функций. Цепное правило гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна производной f'(g(x)) умноженной на производную g'(x) .

➤ См.: составная функция

Неформально часто говорят, что правило цепочки состоит в том, чтобы дифференцировать функцию и затем умножить ее на то, что в ней находится .

Формула цепного правила позволяет нам гораздо легче дифференцировать составные функции, потому что, если бы мы должны были дифференцировать композицию функций, используя предел определения производной, нам пришлось бы выполнить много вычислений.

С другой стороны, необходимо учитывать, что это правило применяется только для нахождения производной сложных функций, а не каких-либо функций или операций с функциями. Например, очень распространенной ошибкой является неправильное применение правила цепочки в таких функциональных продуктах, как следующее:

$\ln(x)\cdot x^2$

❌

Правило цепочки можно использовать только тогда, когда у нас есть одна функция внутри другой .

$\ln(x^2)$

✅

Примеры производных инструментов с цепным правилом

Учитывая определение цепного правила, мы выведем несколько функций на примере цепного правила. Помните, что если в примере вы не понимаете, как выводится функция с помощью правила цепочки, вы можете задать нам вопрос в комментариях!

Пример 1

В этом примере мы будем использовать цепное правило для получения натурального логарифма x в квадрате:

$f(x)=\ln(x^2)$

Производная натурального логарифма равна 1 разу его аргумента, поэтому производная

$f'\bigl(g(x)\bigr)$

быть:

$f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{u}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\ln(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\cfrac{1}{x^2}$

С другой стороны, производная x, возведенная в степень двойки, равна 2x:

$g(x)=x^2\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=2x$

Наконец, мы вычисляем производную всей функции, применяя цепное правило. Производная сложной функции будет произведением двух только что найденных нами производных:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\ln(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x^2}\cdot 2x = \cfrac{2x}{x^2}=\cfrac{2}{x}$

Пример 2

Во втором примере мы выведем потенциальную функцию на основе полинома:

$f(x)=\left(3x^2+4x-5\right)^3$

Чтобы получить степень, нам нужно поместить перед ней исходный показатель степени и вычесть из показателя одну единицу, чтобы производная потенциальной функции без применения правила цепочки была бы:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\left(3x^2+4x-5\right)^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=3\left(3x^2+4x-5\right)^2$

Теперь выводим то, что в скобках:

$g(x)=3x^2+4x-5\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=6x+4$

И, наконец, мы используем цепное правило для решения производной всей функции, которая будет произведением двух рассчитанных ранее производных:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\left(3x^2+4x-5\right)^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3\left(3x^2+4x-5\right)^2\cdot (6x+4)$

Пример 3

В этом случае мы найдем производную синуса x в кубе плюс 7x:

$f(x)=\text{sen}(x^3+7x)$

Действительно, это композиция функций, поскольку у нас есть функция x ³ +7x внутри функции синуса, поэтому мы можем использовать цепное правило, чтобы найти производную сложной функции.

С одной стороны, производная синуса – это косинус, поэтому производной внешней функции будет косинус с тем же аргументом, что и синус:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3+7x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3+7x)$

А с другой стороны, производная х ³ +7х равна 3х ² +7.

$g(x)=x^3+7x\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2+7$

Следовательно, производная сложной функции является произведением двух производных:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\text{sen}(x^3+7x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3+7x)\cdot (3x^2+7)$

Решенные упражнения на производные с помощью цепного правила

Упражнение 1

Выведите следующую составную функцию, используя цепное правило:

$f(x)=\left(5x^2-6x\right)^3$

Посмотреть решение

Внешняя функция является потенциальной функцией, поэтому для вычисления ее производной необходимо применить следующую формулу:

$f\bigl(g(x)\bigr)=a\bigl(g(x)\bigr)^n \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=n\cdot a\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\left(5x^2-6x\right)^3\ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= 3\left(5x^2-6x\right)^2$

А затем вычисляем производную функции внутри. Это вычитание степеней, поэтому для вычисления его производной необходимо применить к каждому из ее членов следующую формулу:

$f(x)=ax^n \ \longrightarrow \ f'(x)=n\cdot ax^{n-1}$

$g(x)=5x^2-6x\ \longrightarrow$

$g'(x)=2\cdot 5x^1-1 \cdot 6 x^0 =10x-6$

Короче говоря, производная сложной функции — это произведение двух найденных производных:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\left(5x^2-6x\right)^3 \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= 3\left(5x^2-6x\right)^2\cdot (10x-6)}$

Упражнение 2

Решите производную следующей сложной функции, используя цепное правило:

$f(x)=-3\left(5x^5+9x^3\right)^4$

Посмотреть решение

Сначала находим производную внешней функции:

$\begin{aligned} f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr) & =4 \cdot ( -3) \left(5x^5+9x^3\right)^3 \\[1.5ex]&=-12\left(5x^5+9x^3\right)^3 \end{aligned}$

А теперь решаем производную внутренней функции:

$g(x)=5x^5+9x^3\ \longrightarrow \ g'(x)=25x^4+27x^2$

Таким образом, производная всей функции равна:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=-3\left(5x^5+9x^3\right)^4 \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)=-12\left(5x^5+9x^3\right)^3\cdot \left(25x^4+27x^2\right)}$

Упражнение 3

С помощью цепного правила вычислите производную следующей композиции функций:

$f(x)=e^{2x^3}$

Посмотреть решение

Это показательная функция, поэтому для расчета ее производной необходимо применить следующую формулу:

$f(x)=e^{x} \ \longrightarrow \ f'(x)=e^{x}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=e^{2x^3} \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= e^{2x^3}$

Также дифференцируем функцию от показателя функции:

$g(x)=2x^3 \ \longrightarrow \ g'(x)=6x^2$

И мы используем цепное правило, чтобы найти производную целочисленной составной функции:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=e^{2x^3} \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= e^{2x^3}\cdot 6x^2}$

Упражнение 4

Найдите производную следующей сложной функции, используя цепное правило:

$f(x)=\sqrt[3]{\text{sen}(x) +x }$

Посмотреть решение

Это композиция функций, потому что в аргументе иррациональной функции мы имеем синусоидальную функцию и линейную функцию. Итак, сначала вычислим производную от корня:

$f(x)=\sqrt[n]{x} \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt[3]{\text{sen}(x) +x } \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= \cfrac{1}{3\sqrt[3]{\bigl(\text{sen}(x) +x\bigr)^2 }}$

И теперь мы получаем аргумент от радикала. Это сумма функций, поэтому производная будет суммой производных каждого члена:

$g(x)=\text{sen}(x) +x \ \longrightarrow \ g'(x)=\cos(x) + 1$

Таким образом, производная всей функции равна произведению двух вычисленных производных:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f(x)=\sqrt[3]{\text{sen}(x)+x} \ \longrightarrow \ f'(x)& = \cfrac{1}{3\sqrt[3]{\bigl(\text{sen}(x) +x\bigr)^2 }} \cdot \bigl(\cos(x) + 1 \bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{\cos(x) + 1}}{\bm{3\sqrt[3]{\bigl(\mathbf{sen}(x) +x\bigr)^2} }}\end{aligned}$

Упражнение 5

Используя правило цепочки, выведите следующую композицию функций:

$f(x)=3^{x^2+5}$

Посмотреть решение

Чтобы применить цепное правило, вы должны найти производную степени и многочлена, а затем умножить их. Таким образом, выводим мощность по соответствующей формуле:

$f(x)=a^x \ \longrightarrow \ f'(x)=a^x\cdot \ln (a)$

$f\bigl(g(x)\bigr)=3^{x^2+5} \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= 3^{x^2+5}\cdot \ln(3)$

Во-вторых, мы выводим полиномиальную функцию из показателя степени:

$g(x)=x^2+5 \ \longrightarrow \ g'(x)=2x$

А цепное правило говорит нам, что производная всей функции — это произведение только что найденных нами производных:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=3^{x^2+5} \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= 3^{x^2+5}\cdot \ln(3) \cdot 2x}$

Упражнение 6

$f(x)=\ln \bigl(4x^2 \cdot \cos(x) \bigr)$

Посмотреть решение

Очевидно, что функция в этой задаче составная, так как в аргументе натурального логарифма мы имеем произведение двух разных видов функций. Итак, сначала дифференцируем логарифм:

$f(x)=\ln(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\ln \bigl(4x^2 \cdot \cos(x) \bigr) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= \cfrac{1}{4x^2 \cdot \cos(x) }$

Во-вторых, мы получаем функцию из аргумента логарифма. Это умножение двух функций, поэтому для вывода необходимо использовать следующую формулу:

$z(x)=f(x) \cdot g(x) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)$

$\begin{aligned}g(x)=4x^2 \cdot \cos(x) \ \longrightarrow \ g'(x) & = 8x\cdot \cos(x) + 4x^2 \cdot \bigl(- \text{sen}(x)\bigr) \\[2ex] & = 8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot \text{sen}(x)\end{aligned}$

Таким образом, производная целой функции, согласно правилу цепочки, будет произведением двух производных:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f'(x)&= \cfrac{1}{4x^2 \cdot \cos(x) } \cdot \bigl( 8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot \text{sen}(x) \bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot\text{sen}(x)}{4x^2 \cdot \cos(x)}\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{2\cos(x) - x \cdot }\mathbf{sen}\bm{(x)}}{\bm{x \cdot \cos(x) }}\end{aligned}$

Упражнение 7

Решите производную следующей функции, используя цепное правило:

$f(x)=\log_9 (e^{x^2}-6x^7)$

Посмотреть решение

Это композиция функций, поэтому мы будем дифференцировать логарифм и его аргумент отдельно, а затем перемножать производные.

Итак, сначала дифференцируем логарифм по основанию 9:

$f(x)=\log_a (x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot \ln (a)}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\log_9 (e^{x^2}-6x^7) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=\cfrac{1}{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)}$

А теперь вычислим производную аргумента логарифма. Обратите внимание, что число e имеет в своем аргументе функцию, т. е. это составная функция, поэтому нам также необходимо применить цепное правило для получения этой функции:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$h(x)=e^{x^2} \ \longrightarrow \ h'(x)=e^{x^2}\cdot \bigl(x^2\bigr)' =e^{x^2}\cdot 2x$

Таким образом, производная целого аргумента логарифма будет равна:

$g(x)= e^{x^2}-6x^7\ \longrightarrow \ g'(x)=e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6$

И, наконец, производная всей функции будет произведением f'(g(x)) и g'(x):

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{1}{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)} \cdot \bigl(e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6\bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6}}{\bm{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)}}\end{aligned}$

Упражнение 8

Выведите следующую составную функцию, используя цепное правило:

$f(x)=\text{sen}\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)$

Посмотреть решение

В этом упражнении у нас есть композиция из нескольких функций, поэтому нам придется применить правило цепочки несколько раз. Сначала выведем тригонометрическую функцию из синуса, производная которого равна косинусу:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)\ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=\cos\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)$

А теперь вычисляем производную аргумента синуса, используя цепное правило:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned} g(x)= \Bigl( 9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \cdot g'(x) &= 2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)' \\[1.5ex]&=2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(45x^4-\text{sen}(x)\Bigr)\end{aligned}$

Наконец, снова применив цепное правило, мы получим производную всего состава функций:

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\bm{f'(x)=\cos } \bm{\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr) \cdot 2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(45x^4-}\mathbf{sen}\bm{(x)\Bigr)}$

Доказательство цепного правила

Наконец, мы докажем формулу цепного правила. Для этого начнем с математического определения производной:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Пусть z — функция, состоящая из двух функций:

$z=f\bigl(g(x)\bigr)$

Тогда производная функции z с применением определения будет:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f\bigl(g(x+h)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{h}$

Как вы уже знаете, дробь можно умножать и делить на одно и то же слагаемое, ведь результат от этого не меняется. Поэтому мы можем перейти к следующему шагу:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f\bigl(g(x+h)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{h}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}$

Переставим знаменатели дробей:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f\bigl(g(x+h)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{g(x+h)-g(x)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

Применяя свойства пределов, мы можем разделить вышеуказанный предел на два. Поскольку предел произведения равен произведению пределов:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f\bigl(g(x+h)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{g(x+h)-g(x)}\cdot \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

И это выражение эквивалентно следующему:

$\displaystyle z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

Таким образом, формула цепного правила доказана, поскольку мы пришли к ней из определения производной.

Что такое правило цепочки?

Примеры производных инструментов с цепным правилом

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Решенные упражнения на производные с помощью цепного правила

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Упражнение 6

Упражнение 7

Упражнение 8

Доказательство цепного правила

Оставьте комментарий Отменить ответ