▷ Производная суммы (формула и решенные упражнения)

Здесь мы объясним, как получить сумму функций (формулу). Кроме того, вы сможете увидеть примеры производных сумм и даже сможете попрактиковаться в решении упражнений на производную суммы. И наконец, вас ждет демонстрация формулы производной суммы.

Формула производной суммы

Производная суммы двух функций равна сумме производных каждой функции в отдельности.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Другими словами, получение двух функций по отдельности, а затем их сложение эквивалентно сначала сложению функций, а затем взятию производной.

Обратите внимание, что производное правило сложения также применимо к вычитанию, поэтому, если перед функцией стоит отрицательный знак вместо положительного, мы также должны использовать ту же формулу для ее дифференцирования.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

Кроме того, сложение — это операция, обладающая ассоциативным свойством, означающим, что количество сложений, участвующих в сложении, безразлично, поскольку производная всей функции будет продолжать оставаться сложением производной каждой функции.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

Примеры производной суммы

После того, как мы увидели, какова формула производной суммы, мы увидим несколько примеров производных этого типа операций, чтобы полностью понять, как выводятся суммы функций.

Пример 1: Производная суммы потенциальных функций

$f(x)=3x^2+5x$

Производная суммы двух функций равна производной каждой функции в отдельности. Поэтому сначала вычислим производную каждой функции отдельно:

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

Таким образом, производная всей функции будет суммой двух вычисленных производных:

$f'(x)=6x+5$

Пример 2: Производная суммы различных функций

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

Чтобы дифференцировать сумму функций, необходимо дифференцировать две функции отдельно, а затем сложить их. Таким образом, выводим функции:

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

А затем добавляем две найденные производные:

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

Пример 3: Производная суммы в квадрате

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

В данном случае мы имеем составную функцию, так как имеем сумму функций, возведенную в степень. Следовательно, нам нужно применить цепное правило для получения всей функции:

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ См.: получение степени

Решенные упражнения на производные сумм функций

Выведите следующие суммы функций

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

Посмотреть решение

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

Демонстрация формулы производной суммы

В этом последнем разделе мы продемонстрируем формулу производной суммы функций. И для этого мы прибегаем к математическому определению производной, которое выглядит следующим образом:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$