В этой статье мы объясним, как получить показательную функцию. Вы найдете формулу показательной производной (с основанием a и основанием e) и решенные упражнения для производных показательных функций.
Правило производной показательной функции зависит от основания степени , так как в зависимости от того, является ли основанием любое число (а) или число е, функция выводится по-разному. Вот почему ниже мы рассмотрим каждый случай отдельно, а затем суммируем две формулы, чтобы полностью понять, как вывести показательную функцию.
Производная показательной функции с основанием a
Производная показательной функции с основанием а равна произведению функции на натуральный логарифм основания степени и производной показателя степени.
Например, производная следующей показательной функции:
Производная показательной функции с основанием e
Производная показательной функции с основанием e эквивалентна произведению той же функции на производную показателя.
Например, производная числа e, возведенного в 4x, равна:
Формула экспоненциальной производной
Как мы видели, производная показательной функции зависит от ее основания. И две формулы, которые используются для вывода показательных функций:
Экспоненциальная производная от e до x
Как только мы увидим, что представляет собой формула экспоненциальной производной, мы проанализируем случай производной е по х, потому что это любопытный случай.
Производная функции e по x всегда дает в результате саму функцию , то есть сколько бы раз мы ни дифференцировали функцию ex , мы всегда получим одну и ту же функцию.
Это свойство функции е, возведенной в х, обусловлено тем, что производная от х равна 1. Поэтому при выводе мы всегда умножаем саму функцию на 1 и в результате всегда получаем функцию d’origin.
Решенные задачи о производных показательных функций
Упражнение 1
Выведите следующую показательную функцию:
Функция основана на числе, отличном от e, поэтому нам нужно использовать следующую формулу:
Таким образом, производная показательной функции по основанию 3 равна:
Упражнение 2
Вычислите производную следующей показательной функции:
Функция в этом упражнении основана на числе, отличном от e, поэтому необходимо применить следующую формулу:
Итак, производная функции:
Упражнение 3
Найдите производную следующей показательной функции с основанием e:
Функция в этом упражнении имеет в качестве основания число e, поэтому мы можем использовать следующую формулу:
И вывод показательной функции дает:
Обратите внимание, что для решения этой производной нам нужно использовать цепное правило.
Упражнение 4
Найдите производную следующей показательной функции с корнем в качестве показателя степени:
➤ См.: производная радикальной функции
Хотя в показателе степени есть радикальное выражение, нам все равно нужно воспользоваться правилом вывода показательной функции по основанию а:
Таким образом, производная сложной показательной функции равна:
Упражнение 5
Выведите следующую показательную функцию по основанию e с дробным показателем:
➤ См.: производная частного функции
Основанием степени является число e, поэтому для деления функции воспользуемся следующим правилом:
Таким образом, производная показательной функции равна: