Производная показательной функции

В этой статье мы объясним, как получить показательную функцию. Вы найдете формулу показательной производной (с основанием a и основанием e) и решенные упражнения для производных показательных функций.

Правило производной показательной функции зависит от основания степени , так как в зависимости от того, является ли основанием любое число (а) или число е, функция выводится по-разному. Вот почему ниже мы рассмотрим каждый случай отдельно, а затем суммируем две формулы, чтобы полностью понять, как вывести показательную функцию.

Производная показательной функции с основанием a

Производная показательной функции с основанием а равна произведению функции на натуральный логарифм основания степени и производной показателя степени.

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

Например, производная следующей показательной функции:

$f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x$

Производная показательной функции с основанием e

Производная показательной функции с основанием e эквивалентна произведению той же функции на производную показателя.

$f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'$

Например, производная числа e, возведенного в 4x, равна:

$f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}$

Формула экспоненциальной производной

Как мы видели, производная показательной функции зависит от ее основания. И две формулы, которые используются для вывода показательных функций:

Экспоненциальная производная от e до x

Как только мы увидим, что представляет собой формула экспоненциальной производной, мы проанализируем случай производной е по х, потому что это любопытный случай.

Производная функции e по x всегда дает в результате саму функцию , то есть сколько бы раз мы ни дифференцировали функцию ^ex , мы всегда получим одну и ту же функцию.

$\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}$

Это свойство функции е, возведенной в х, обусловлено тем, что производная от х равна 1. Поэтому при выводе мы всегда умножаем саму функцию на 1 и в результате всегда получаем функцию d’origin.

$f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x$

Решенные задачи о производных показательных функций

Упражнение 1

Выведите следующую показательную функцию:

$f(x)=3^x$

посмотреть решение

Функция основана на числе, отличном от e, поэтому нам нужно использовать следующую формулу:

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

Таким образом, производная показательной функции по основанию 3 равна:

$f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)$

Упражнение 2

Вычислите производную следующей показательной функции:

$f(x)=7^{3x^2-4x}$

посмотреть решение

Функция в этом упражнении основана на числе, отличном от e, поэтому необходимо применить следующую формулу:

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

Итак, производная функции:

$f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)$

Упражнение 3

Найдите производную следующей показательной функции с основанием e:

$f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}$

посмотреть решение

Функция в этом упражнении имеет в качестве основания число e, поэтому мы можем использовать следующую формулу:

$f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'$

И вывод показательной функции дает:

$f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)$

Обратите внимание, что для решения этой производной нам нужно использовать цепное правило.

Упражнение 4

Найдите производную следующей показательной функции с корнем в качестве показателя степени:

$f(x)=9^{\sqrt{5x}}$

➤ См.: производная радикальной функции

посмотреть решение

Хотя в показателе степени есть радикальное выражение, нам все равно нужно воспользоваться правилом вывода показательной функции по основанию а:

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

Таким образом, производная сложной показательной функции равна:

$f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}$

Упражнение 5

Выведите следующую показательную функцию по основанию e с дробным показателем:

$f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}$

➤ См.: производная частного функции

посмотреть решение

Основанием степени является число e, поэтому для деления функции воспользуемся следующим правилом:

$f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'$

Таким образом, производная показательной функции равна:

$\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}$

Производная показательной функции с основанием a

Производная показательной функции с основанием e

Формула экспоненциальной производной

Экспоненциальная производная от e до x

Решенные задачи о производных показательных функций

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Оставьте комментарий Отменить ответ