▷ Производная вычитания (формула и решенные упражнения)

В этой статье мы объясним, как вывести вычитание функций (формулу). Вы также найдете примеры производных на вычитание и решенные пошаговые упражнения для практики.

Формула производной от вычитания

Производная от вычитания двух функций равна вычитанию производной каждой функции в отдельности.

$z(x)=f(x)-g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)-g'(x)$

Другими словами, дифференцирование двух функций по отдельности, а затем их вычитание эквивалентно сначала вычитанию функций, а затем взятию производной.

Аналогично, то же правило дифференцирования применимо к вычитанию двух или более функций, поэтому, если у нас есть вычитание трех, четырех, пяти… функций, нам нужно продифференцировать каждую отдельно, а затем вычесть их.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)- g(x)- h(x)- \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)-g'(x)- h'(x)- \dots\end{array}$

Как видите, формула производной разности функций очень похожа на правило производной суммы.

➤ См.: производная суммы функций

Примеры производной вычитания

Разобравшись с формулой производной вычитания, мы перейдем к анализу нескольких примеров производных этого типа операций, чтобы полностью понять, как выводятся вычитания функций.

Пример 1: Производная от вычитания потенциальных функций

$f(x)=x^3-4x$

Производная от вычитания двух функций эквивалентна разности производных каждой функции в отдельности. Поэтому сначала вычислим производную каждой функции отдельно:

$\cfrac{d}{dx} \ x^3=3x^2$

$\cfrac{d}{dx}\ 4x=4$

Таким образом, производная всей функции равна:

$f'(x)=3x^2-4$

Пример 2: Производная от вычитания различных функций

$f(x)=\text{cos}(x)-\log_7(x^2)$

Чтобы дифференцировать функции вычитания, необходимо сначала дифференцировать две функции отдельно, а затем вычесть их.

$\cfrac{d}{dx} \ \text{cos}(x)=-\text{sen}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \log_7 (x^2)=\cfrac{2x}{x^2\cdot \ln(7)}=\cfrac{2}{x\ln(7)}$

И сделав две производные, вычитаем их в том же начальном порядке:

$f'(x)=-\text{sen}(x)-\cfrac{2}{x\ln(7)}$

Пример 3: Производная квадрата вычитания

$f(x)=\left(x^7-2x^3-9\right)^2$

В данном случае у нас есть составная функция, поскольку она представляет собой вычитание между тремя квадратами функций. Поэтому мы должны использовать формулу производной потенциальной функции и цепное правило для вычисления производной всей функции:

$f(x)=2\left(x^7-2x^3-9\right)\cdot \left(7x^6-6x^2\right)$