Производная арккотангенса

Здесь вы найдете формулу производной арккотангенса и на примерах объясним, как вывести арккотангенс функции.

формула производной арккотангенса

Производная арктангенса x равна отрицательной единице, разделенной на единицу плюс x в квадрате.

f(x)=\text{arccotg}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{1}{1+x^2}

Следовательно, производная арккотангенса функции равна минус производной этой функции, деленной на единицу, плюс квадрат функции.

f(x)=\text{arccotg}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{1+u^2}

Обратите внимание, что первая и вторая формулы одинаковы, с той лишь разницей, что ко второму выражению применяется правило цепочки. Фактически, если вы подставите x вместо u, вы получите первую формулу, поскольку производная функции x равна 1.

полученный из арккотангенса

Хотя арккотангенс является обратной функцией котангенса, их производные совершенно различны. Фактически, котангенс функции можно получить тремя способами, вы можете увидеть их все здесь:

➤ См.: формула производной котангенса

Примеры производной арккотангенса

После того, как вы увидели формулу производной арккотангенса, вот два решенных упражнения для этого типа тригонометрической производной. Также помните, что если у вас есть вопросы, вы можете оставить свой вопрос ниже в комментариях.

Пример 1

На этом примере мы увидим, сколько составляет производная арккотангенса квадратичной функции x 2 .

f(x)=\text{arccotg}(x^2)

В аргументе арккотангенса у нас есть функция, отличная от x, поэтому нам нужно применить формулу для производной арккотангенса с цепным правилом:

f(x)=\text{arccotg}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{1+u^2}

Производная от x, возведенная в два раза, равна 2x, поэтому в числителе надо поставить 2x, а в знаменателе функцию возведенного в квадрат аргумента:

f(x)=\text{arccotg}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{1+(\left(x^2\right)^2}=-\cfrac{2x}{1+x^4}

Пример 2

Во втором примере мы выведем арккотангенс полиномиальной функции третьей степени.

f(x)=\text{arccotg}(x^3-9x+2)

Для его вывода мы используем правило производной арккотангенса:

f(x)=\text{arccotg}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{1+u^2}

Таким образом, производная арккотангенса функции равна:

f(x)=\text{arccotg}(x^3-9x+2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{3x^2-9}{1+(x^3-9x+2)^2}

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Прокрутить вверх