Производная логарифмической функции

Здесь вы узнаете, как решить производную логарифмической функции в любой базе (формуле). Кроме того, вы сможете попрактиковаться, выполняя пошаговые упражнения на производные логарифмических функций.

Формула деления логарифмической функции меняется в зависимости от того, является ли логарифм натуральным (с основанием е) или другим основанием . Поэтому мы сначала рассмотрим две формулы отдельно с примером для каждого случая, а затем подведем итог по двум правилам.

Производная натурального или натурального логарифма

Производная натурального логарифма (или натурального логарифма) — это частное производной аргумента логарифма, деленного на функцию аргумента.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Логично, что если функция внутри логарифма является тождественной функцией, в числителе производной остается 1:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Посмотрите на следующий пример, в котором решается производная натурального логарифма 3x:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Помните, что натуральный логарифм – это логарифм, основанием которого является число e (число Эйлера).

\ln(x)=\log_e(x)

Производная логарифма на основе

Производная логарифма по любому основанию равна 1, делённому на произведение х, умноженного на натуральный логарифм по основанию исходного логарифма.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

Итак, если мы применим правило цепочки, правило логарифмической производной будет выглядеть так:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Например, производная логарифма по основанию 2 от x в квадрате равна:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Формула производной логарифмической функции

Учитывая определение логарифмической производной и два ее возможных варианта, вот краткое изложение двух формул, чтобы вам было легче запомнить.

производная логарифмической функции

Решенные задачи о производных логарифмических функций

Упражнение 1

Выведите следующую логарифмическую функцию:

f(x)=\log(3x^2)

В этом случае необходимо решить производную логарифма в десятичном основании, поэтому мы должны применить следующую формулу:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Таким образом, производная логарифма по основанию 10 равна:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Помните, что если у логарифма нет основания, это означает, что его основание равно 10.

Упражнение 2

Выведите следующий натуральный (или натуральный) логарифм:

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

Функция в этой задаче представляет собой натуральный логарифм, поэтому для получения логарифмической функции нам нужно использовать следующее правило:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Следовательно, производная натурального логарифма равна:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

Упражнение 3

Выведите следующий логарифм:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

В этом упражнении нам нужно вывести логарифм по основанию 7, поэтому мы воспользуемся следующей формулой:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

А производная логарифма:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

Упражнение 4

Найдите производную следующей логарифмической функции с дробью:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Чтобы решить логарифмическую производную, мы можем сначала упростить функцию, применив свойства логарифмов:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Теперь нам придется дважды использовать формулу логарифмической производной, но обе производные вычислить проще.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Вкратце, производная функции равна:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

Упражнение 5

Вычислите производную следующей логарифмической функции с одним корнем:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

Сначала упростим функцию, используя свойства логарифмов:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

И как только мы убрали радикал из функции, воспользуемся правилом для производной натурального или натурального логарифма:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Следовательно, производная сложной логарифмической функции равна:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Прокрутить вверх