▷ Производная константы (решенные примеры)

Здесь мы объясним, сколько стоит производная константы (с примерами). Мы также научим вас вычислять производную константы, умноженной на функцию, константы, разделенной на функцию, и константы, возведенной в виде функции. Наконец, вы можете попрактиковаться, решая упражнения на производные констант.

Что такое производная константы

Производная константы всегда равна нулю , независимо от значения константы.

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

Поэтому, чтобы найти производную постоянной функции, не нужно производить никаких вычислений, производная просто равна нулю.

Производная константы равна нулю, поскольку график постоянной функции не имеет наклона.

Примеры производных констант

Учитывая определение производной постоянной функции, мы увидим несколько решенных примеров, чтобы полностью понять концепцию:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Как видите, производная константы всегда дает 0. Неважно, будет ли знак константы положительным или отрицательным, будет ли значение константы очень большим или очень маленьким, ее производная будет равна нулю.

Доказательство производной константы

Как только мы увидим, насколько велика производная константы, мы продемонстрируем, почему этот тип производной равен нулю.

Пусть f — постоянная функция любого значения:

$f(x)=k$

Формула вычисления производной функции в точке:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ См.: определение производной

Итак, если мы решим предел постоянной функции:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

Таким образом, производная постоянной функции равна 0 в каждой точке. Поэтому продемонстрирована формула производной константы.

Производная константы по функции

Мы только что проанализировали производную одной константы, то есть функции без каких-либо переменных. Но как известно, функции можно объединять с помощью операций. Поэтому ниже мы будем изучать производные констант в сочетании с другими видами функций, например производную константы, умноженную на другой тип функции.

Производная константы, умноженная на функцию, равна константе, умноженной на производную функции.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

Например, производная следующей квадратичной функции:

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

Следовательно, производная от умножения этой функции на константу эквивалентна умножению производной, рассчитанной на предыдущем шаге, на константу:

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

Производная константы между функцией

Производная константы между функцией равна произведению модифицированной константы на производную функции, разделенную на квадрат функции.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

Например, производная следующей константы, деленная на линейную функцию, равна:

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

Поскольку производная 8х равна 8.

Производная константы, возведенной в функцию

Производная константы, возведенной в виде функции, равна произведению натурального логарифма константы, умноженной на константу, возведенную в виде функции, на производную функции.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

Например, поскольку производная синуса — это косинус, дифференцирование большой константы в синус дает:

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

Решенные упражнения на производные констант

Решите следующие производные констант:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

Посмотреть решение

До упражнения F) все функции являются простыми постоянными значениями, поэтому все их производные дают ноль.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

Даже если это дробь или корень, если у функции нет переменных, это означает, что она является постоянной функцией и, следовательно, ее производная равна нулю.

Напротив, следующие три упражнения представляют собой функции, которые представляют собой операции констант с другими функциями. Поэтому для расчета их производных нам необходимо применить соответствующие им формулы:

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

Получено из константы