Проблемы оптимизации -

Здесь мы объясним, как поэтапно решаются задачи оптимизации функций. Кроме того, вы сможете попрактиковаться с упражнениями, решающими задачи оптимизации.

Что такое проблемы оптимизации?

Задачи оптимизации — это задачи, в которых необходимо найти максимум или минимум функции. Например, задача оптимизации может включать вычисление максимума функции, определяющей прибыль компании.

Как решить проблемы оптимизации

Действия по устранению проблем с оптимизацией функций:

Установите функцию , которую необходимо оптимизировать.
Выведите функцию, которую необходимо оптимизировать.
Найдите критические точки функции, подлежащей оптимизации. Для этого нужно приравнять производную функции нулю и решить полученное уравнение.
Изучите монотонность функции и определите максимум или минимум функции.

Пример задачи оптимизации

Рассматривая теорию задач оптимизации, мы будем поэтапно решать задачи такого типа, чтобы вы могли увидеть, как они выполняются.

Среди всех прямоугольных треугольников, общая длина катетов которых равна 10 см, вычислите размеры того, площадь поверхности которого наибольшая.

Для решения задачи назовем одну ветвь треугольника x , а другую ветвь y :

Шаг 1: Установите функцию, которую необходимо оптимизировать.

Мы хотим, чтобы площадь треугольника была максимальной, а формула площади треугольника такая:

$A = \cfrac{b \cdot h}{2}$

В нашем случае основание треугольника — x , а его высота — y . Еще:

$A = \cfrac{x \cdot y}{2}$

У нас уже есть функция для оптимизации, но она зависит от двух переменных, тогда как может зависеть только от одной. Однако в заявлении говорится, что общая длина двух ног должна составлять 10 см. Еще:

$x+ y = 10$

Решаем для y из этого уравнения:

$y = 10 -x$

И подставляем выражение в функцию:

$A = \cfrac{x \cdot y}{2} \ \xrightarrow{ y \ = \ 10 -x } \ A = \cfrac{x(10-x)}{2}$

$A(x) = \cfrac{10x-x^2}{2}$

Теперь у нас есть запланированная функция оптимизации, и она зависит только от одной переменной, поэтому мы можем перейти к следующему шагу.

Шаг 2: Рассчитайте производную функции, подлежащей оптимизации.

Это рациональная функция, поэтому для ее получения мы применяем формулу производной от деления:

$A(x) = \cfrac{10x-x^2}{2} \ \longrightarrow \ A'(x) = \cfrac{(10-2x) \cdot 2 - (10x-x^2) \cdot 0}{2^2}$

$A'(x) = \cfrac{20-4x}{4}$

Шаг 3: Найдите критические точки.

Чтобы найти критические точки функции, нам нужно приравнять производную нулю и решить полученное уравнение:

$A'(x) = 0$

$\cfrac{20-4x}{4} =0$

4 делит всю левую часть, поэтому мы можем умножить ее, умножив всю правую часть:

$20-4x=0 \cdot 4$

$20-4x=0$

$-4x=-20$

$x=\cfrac{-20}{-4}$

$x=5$

Шаг 4: Изучите монотонность функции и определите максимум или минимум функции.

Для изучения монотонности функции представим критическую точку, найденную справа:

А теперь оценим знак производной на каждом интервале, чтобы узнать, возрастает или убывает функция. Для этого мы берем точку в каждом интервале (никогда не критическую точку) и смотрим, какой знак имеет производная в этой точке:

$A'(x) = \cfrac{20-4x}{4}$

$A'(0) = \cfrac{20-4\cdot0}{4} = \cfrac{20}{4} = 5 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$A'(6) = \cfrac{20-4\cdot6}{4} = \cfrac{20-24}{4} = \cfrac{-4}{4} = -1 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Если производная положительна, это означает, что функция возрастает, а если производная отрицательна, это означает, что функция убывает. Следовательно, интервалы увеличения и убывания функции составляют:

Рост:

$\bm{(-\infty, 5)}$

Снижаться:

$\bm{(5,+\infty)}$

При x=5 функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому x=5 является относительным максимумом функции, подлежащей оптимизации .

Следовательно, x=5 — это значение той ветви треугольника, которая имеет максимальную площадь. Просто рассчитайте стоимость другой ноги:

$y = 10 -x \ \xrightarrow{x \ = \ 5} \ y = 10-5= \bm{5}$

В заключение, значения, которые максимизируют максимальную площадь треугольника:

$\bm{x=5} \ \mathbf{cm}$

$\bm{y=5} \ \mathbf{cm}$

Проблемы с оптимизацией решены

Проблема 1

Лекарство дают больному и

$t$

через несколько часов концентрация активного ингредиента в крови определяется функцией

$c(t) = te^{−t/2}$

миллиграммы на миллилитр. Определить максимальное значение

$c(t)$

и указывает, когда указанное значение достигнуто.

Посмотреть решение

Шаг 1: Установите функцию, которую необходимо оптимизировать.

В этой задаче нам уже дают предложенную функцию, которая есть

$\displaystyle c(t) = t e^{-t/2} .$

Шаг 2: Рассчитайте производную функции, подлежащей оптимизации.

Функция состоит из произведения двух функций. Поэтому для вычисления производной функции необходимо применить правило для производной произведения:

$\displaystyle c'(t)=1 \cdot e^{-t/2} + t \cdot e^{-t/2} \cdot \left( \frac{-t}{2} \right)'= e^{-t/2} + t e^{-t/2} \cdot \frac{-1}{2}$

$c'(t)=e^{-t/2} + \cfrac{-1}{2}t e^{-t/2}$

Шаг 3: Найдите критические точки.

Чтобы найти критические точки функции, решаем

$c'(t)=0:$

$c'(t)=0$

$\displaystyle e^{-t/2} + \frac{-1}{2}t e^{-t/2}=0$

Для решения уравнения возьмем общий множитель:

$\displaystyle e^{-t/2} \left(1 - \frac{1}{2}t \right) = 0$

Чтобы умножение было равно 0, один из двух элементов умножения должен быть нулем. Поэтому мы устанавливаем каждый фактор равным 0:

$\displaystyle e^{-t/2}\cdot \left(1 - \frac{1}{2}t \right) = 0 \longrightarrow \begin{cases} e^{-t/2}=0 \ \bm{\times} \\[2ex]\displaystyle 1 - \frac{1}{2}t=0 \ \longrightarrow \ 1= \frac{1}{2}t \ \longrightarrow \ \bm{2=t} \end{cases}$

Число, возведенное в другое число, никогда не может дать 0, поэтому

$e^{-t/2}=0$

Решения нет.

Шаг 4: Изучите монотонность функции и определите максимум или минимум функции.

Для изучения монотонности функции представим критическую точку, найденную справа:

А теперь оценим знак производной на каждом интервале, чтобы узнать, возрастает или убывает функция. Поэтому мы берем точку в каждом интервале (никогда не критическую точку) и смотрим, какой знак имеет производная в этой точке:

$\displaystyle c'(0)=e^{-0/2} + \frac{-1}{2}\cdot 0 \cdot e^{-0/2} = e^0 +\frac{-1}{2}\cdot 0 \cdot e^{0} = 1 + 0 = 1 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$\displaystyle c'(3)=e^{-3/2} + \frac{-1}{2}(3)e^{-3/2} = 0,22-0,33 = -0,11 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Если производная положительна, это означает, что функция увеличивается, а если производная отрицательна, это означает, что функция убывает. Таким образом, интервалы роста и убывания оптимизируемой функции составляют:

Рост:

$\bm{(-\infty,2)}$

Снижаться:

$\bm{(2,+\infty)}$

Функция переходит от возрастания к убыванию при t=2, поэтому t=2 является максимумом функции. Таким образом, максимальная концентрация будет достигнута через t=2 часа.

Наконец, мы подставляем значение, при котором возникает максимум, в исходную функцию, чтобы найти значение максимальной концентрации:

$c(2) = 2 \cdot e^{-2/2} = 2\cdot e^{-1} = 2 \cdot 0,37 = \bm{0,74} \ \mathbf{mg/ml}$

Проблема 2

Один магазин надеется продать 40 электросамокатов по цене 1000 евро за скутер. Но согласно исследованиям рынка, на каждые 50 евро снижения цены скутера произойдет увеличение продаж 10 самых продаваемых скутеров.

Сначала напишите функцию дохода магазина, основанную на том, во сколько раз первоначальная цена самоката в 1000 долларов уменьшилась на 50 долларов. Затем определите цену самоката, чтобы получить максимальную прибыль и доход, полученный по этой цене.

Посмотреть решение

Шаг 1: Установите функцию, которую необходимо оптимизировать.

Постановка задачи дает нам подсказку, поскольку говорит, что функция должна зависеть от того, во сколько раз начальная цена уменьшилась на 50 долларов. Поэтому мы назовем x количество раз, когда цена снижается на 50 евро:

$x= \text{N\'umero de veces que se rebaja el precio 50}$

€

Функция дохода будет равна количеству проданных скутеров, умноженному на цену каждого скутера:

$I(x)= \text{N\'umero patintetes vendidos} \cdot \text{Precio de cada patinete}$

Количество проданных самокатов составит 40 плюс 10 самокатов за каждые 50 евро снижения цены. Еще:

$\text{N\'umero patintetes vendidos} = 40 + 10x$

Цена каждого самоката на старте составит 1000 евро и будет снижаться на 50 евро с каждым снижением цены. Еще:

$\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50x$

Таким образом, функция оптимизации задачи такова:

$I(x)= \text{N\'umero patintetes vendidos} \cdot \text{Precio de cada patinete}$

$I(x)= (40 + 10x) \cdot (1000-50x)$

$I(x)= 40000-2000x+10000x-500x^2$

$I(x)= -500x^2+8000x+40000$

Шаг 2: Рассчитайте производную функции, подлежащей оптимизации.

Поскольку производная является полиномиальной функцией, ее легче вычислить:

$I(x)= -500x^2+8000x+40000\ \longrightarrow \ I'(x)= -1000x+8000$

Шаг 3: Найдите критические точки функции.

Чтобы найти критические точки функции, решаем

$I'(x)=0:$

$I'(x)=0$

$-1000x+8000=0$

$-1000x=-8000$

$x=\cfrac{-8000}{-1000} = 8$

Шаг 4: Изучите монотонность функции и определите максимум или минимум функции.

Для изучения монотонности функции представим рассчитанную критическую точку на числовой прямой:

$I'(0)= -1000\cdot 0+8000=8000 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$I'(10)= -1000\cdot 10+8000=-2000 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Если производная положительна, это означает, что функция возрастает, а если производная отрицательна, это означает, что функция убывает. Следовательно, интервалы роста и падения составляют:

Рост:

$\bm{(-\infty,8)}$

Снижаться:

$\bm{(8,+\infty)}$

Функция переходит от возрастания к убыванию при x=8, поэтому x=8 является максимумом функции. Таким образом, максимальный доход будет получен, если сделать скидку в 50 евро в 8 раз.

Теперь подставим значение, при котором появляется максимальный доход, в исходную функцию, чтобы найти значение максимального дохода:

$I(x)= -500x^2+8000x+40000$

$I(8)= -500\cdot 8^2+8000\cdot 8+40000 = \bm{72000}$

€

А цена каждого самоката после 8-кратной скидки в 50 евро составит:

$\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50x$

$\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50\cdot 8=\bm{600}$

€

Проблема 3

Функцию затрат (в тысячах евро) компании можно определить с помощью следующего выражения:

$f(x)=40-6x+x^2, \quad x \ge 0$

Золото

$x$

представляет собой тысячи единиц, произведенных данного товара.

Определите, сколько необходимо произвести, чтобы затраты были минимальными, каковы эти затраты и какими были бы затраты, если бы ни один из этих товаров не производился.

Посмотреть решение

Шаг 1: Установите функцию, которую необходимо оптимизировать.

Постановка задачи уже дает нам функцию, которую необходимо оптимизировать, а именно:

$\displaystyle f(x)=40-6x+x^2 .$

Шаг 2: Рассчитайте производную функции, подлежащей оптимизации.

$f(x)=40-6x+x^2 \ \longrightarrow \ f'(x)=-6+2x$

Шаг 3: Найдите критические точки.

Чтобы найти критические точки функции, решаем

$f'(x)=0:$

$f'(x)=0$

$-6+2x=0$

$2x=6$

$x=\cfrac{6}{2} = 3$

Шаг 4: Изучите монотонность функции и определите максимум или минимум функции.

Мы представляем критическую точку, найденную справа:

$f'(0)=-6+2\cdot 0=-6\ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(4)=-6+2\cdot 4=-6+8=2\ \rightarrow \ \bm{+}$

Если производная больше нуля, функция возрастает на этом интервале. С другой стороны, если производная меньше нуля, функция убывает на этом интервале. Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции составляют:

Рост:

$\bm{(3,+\infty)}$

Снижаться:

$\bm{(-\infty,3)}$

Функция переходит от убывания к увеличению при x=3, поэтому x=3 является минимумом функции. Следовательно, минимальные затраты будут достигнуты при производстве 3000 единиц.

Теперь мы подставляем значение, при котором достигается минимальная стоимость, в исходную функцию, чтобы найти минимальное значение стоимости:

$f(3)=40-6\cdot 3+3^2=\bm{31}$

миллионы евро.

С другой стороны, они спрашивают нас, каковы были бы затраты, если бы ничего не производилось, то есть когда

$x= 0 .$

Поэтому необходимо рассчитать

$f(0):$

$f(0)=40-6\cdot 0+0^2= \bm{40}$

миллионы евро.

Проблема 4

Мы хотим построить прямоугольный деревянный каркас, ограничивающий площадь 2 м ² . Мы знаем, что цена древесины составляет 7,5 евро/м для горизонтальных сторон и 12,5 евро/м для вертикальных сторон. Определите размеры, которые должен иметь прямоугольник, чтобы общая стоимость рамы была минимально возможной и указанная стоимость была минимальной.

Посмотреть решение

Шаг 1: Установите функцию, которую необходимо оптимизировать.

Для решения задачи назовем горизонтальную сторону x , а вертикальную сторону y :

проблемы оптимизации прямоугольной функции

Покупка горизонтальной стороны стоит 7,5 евро, а покупка вертикальной стороны — 12,5 евро. Дополнительно для каждого кадра нам нужны две горизонтальные стороны и две вертикальные стороны. Таким образом, стоимость кадра можно определить с помощью следующей функции:

$C(x,y)= 7,5\cdot 2x+12,5 \cdot 2y = 15x +25y$

Функция оптимизации у нас уже есть. Но оно зависит от двух переменных, хотя может зависеть только от одной. Однако в заявлении нам сказано, что площадь поверхности каркаса должна составлять 2 м ² . Еще:

$x \cdot y = 2$

Удаляем переменную y :

$y =\cfrac{2}{x}$

И подставляем найденное выражение в оптимизируемую функцию:

$C(x,y)= 15x +25y\ \xrightarrow{y \ = \ \frac{2}{x} } \ C(x)= 15x+25\left(\cfrac{2}{x} \right)$

$C(x)= 15x+\cfrac{50}{x} =15x +50x^{-1}$

Шаг 2: Рассчитайте производную функции, подлежащей оптимизации.

$C(x)=15x +50x^{-1} \ \longrightarrow \ C'(x)=15 -50x^{-2}$

Шаг 3: Найдите критические точки.

Чтобы найти критические точки функции, решаем

$C'(x)=0:$

$C'(x)=0$

$15 -50x^{-2}=0$

$15 =50x^{-2}$

$15=\cfrac{50}{x^2}$

$\cfrac{15}{1}=\cfrac{50}{x^2}$

Умножим поперечно, чтобы решить уравнение с дробями:

$15 \cdot x^2 = 50 \cdot 1$

$x^2 = \cfrac{50}{15}$

$x^2 = 3,33$

$\sqrt{x^2} = \sqrt{3,33}$

$x = 1,83$

Шаг 4: Изучите монотонность функции и определите максимум или минимум функции.

Представим критическую точку, найденную для анализа монотонности функции, на прямой:

$f'(1)=15 -50\cdot 1^{-2} = 15-50 = -35 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(2)=15 -50\cdot 2^{-2} = 15-12,5 = 2,5 \ \rightarrow \ \bm{+}$

Рост:

$\bm{(1,83,+\infty)}$

Снижаться:

$\bm{(-\infty,1,83)}$

Функция переходит от убывания к увеличению при x=1,83, поэтому x=1,83 является минимумом функции.

Следовательно, x=1,83 — это значение горизонтальной стороны, которая представляет собой минимальную стоимость. Теперь посчитаем значение вертикальной стороны:

$y =\cfrac{2}{x} \ \longrightarrow \ y =\cfrac{2}{1,83} = \bm{1,09}$

Таким образом, значения, составляющие минимальную стоимость каркаса, составляют:

горизонтальная сторона

$= x = \bm{1,83} \ \mathbf{m}$

вертикальная сторона

$= y = \bm{1,09} \ \mathbf{m}$

И минимальная стоимость, достигаемая при этих значениях, составляет:

$C= 15\cdot 1,83+25\cdot 1,09=\bm{54,70}$

€

Проблема 5

Дверь собора представляет собой полукруглую арку, поддерживаемую двумя колоннами, как показано на следующем рисунке:

Если периметр двери 20 м, определите размеры

$x$

$y$

что максимально увеличивает площадь поверхности всей двери.

Посмотреть решение

Шаг 1: Установите функцию, которую необходимо оптимизировать.

Площадь круга рассчитывается по формуле

$\pi r^2.$

Значит площадь всей двери будет равна площади прямоугольника плюс половина площади окружности:

$A(x,y)= x\cdot y + \cfrac{1}{2} \left[ \pi r ^2 \right]$

$A(x,y)= x y + \cfrac{1}{2} \left[ \pi \left(\cfrac{x}{2}\right)^2 \right]$

$A(x,y)= x y + \cfrac{1}{2} \left[ \pi \cdot \cfrac{x^2}{4} \right]$

$A(x,y)= x y +\cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{\pi \cdot x^2}{4} \right]$

$A(x,y)= xy +\cfrac{\pi x^2}{8}$

Функция оптимизации у нас уже есть. Но оно зависит от двух переменных, хотя может зависеть только от одной.

Однако в релизе сказано, что периметр всех ворот составляет 20 метров. Периметр круга вычисляется по формуле

$2 \pi r.$

Следовательно, периметр всей двери составит:

$P= x +2y +\cfrac{1}{2} \left[ 2 \pi \left( \cfrac{x}{2}\right) \right] = x+2y + \cfrac{2 \pi x }{2 \cdot 2} = x+2y + \cfrac{ \pi x }{2 }$

Периметр должен быть 20 м. Поэтому мы установили предыдущее выражение равным 20, чтобы найти связь между

$x$

$y :$

$x+2y + \cfrac{ \pi x }{2 } = 20$

Умножаем все члены на 2, чтобы исключить дроби:

$2\cdot x+2\cdot 2y + 2 \cdot \cfrac{ \pi x }{2 } = 2 \cdot 20$

$2x+4y + \pi x = 40$

Мы очищаем

$y :$

$4y = 40-2x- \pi x$

$y = \cfrac{40-2x- \pi x}{4}$

И подставляем найденное выражение в оптимизируемую функцию:

$A(x,y)= x y +\cfrac{\pi x^2}{8}\ \xrightarrow{y \ = \ \frac{40-2x- \pi x}{4} }$

$A(x)= x \cdot \cfrac{40-2x- \pi x}{4}+\cfrac{\pi x^2}{8}$

$A(x)= \cfrac{40x-2x^2-\pi x^2}{4}+\cfrac{\pi x^2}{8}$

Шаг 2: Рассчитайте производную функции, подлежащей оптимизации.

$A'(x)=\cfrac{(40-4x-2\pi x)\cdot 4 +(40x-2x^2- \pi x^2)\cdot 0 }{4^2} +\cfrac{2\pi x \cdot 8 + \pi x^2 \cdot 0}{8^2}$

$A'(x)=\cfrac{160-16x-8\pi x }{16} +\cfrac{16\pi x}{64}$

Шаг 3: Найдите критические точки.

Чтобы найти критические точки функции, решаем

$A'(x)=0:$

$A'(x)=0$

$\cfrac{160-16x-8\pi x }{16} +\cfrac{16\pi x}{64} = 0$

Это уравнение с дробями, поэтому мы умножаем каждое слагаемое на 1см знаменателей, чтобы исключить дроби:

$64 \cdot \cfrac{160-16x-8\pi x }{16} +64 \cdot \cfrac{16\pi x}{64} = 0$

$4\cdot ( 160-16x-8\pi x) +1\cdot 16\pi x= 0$

$640-64x -32 \pi x +16\pi x= 0$

$-64x -32 \pi x +16\pi x= -640$

$-64x -16 \pi x = -640$

$(-64 -16 \pi) x = -640$

$x=\cfrac{-640}{-64 -16 \pi} = 5,6$

Шаг 4: Изучите монотонность функции и определите максимум или минимум функции.

Для изучения монотонности функции представим критическую точку, найденную справа:

$A'(0)=\cfrac{160-16\cdot 0-8\pi \cdot 0 }{16} +\cfrac{16\pi \cdot 0}{64} = 10 +0 = 10 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$A'(6)=\cfrac{160-16\cdot 6-8\pi \cdot 6 }{16} +\cfrac{16\pi \cdot 6}{64} = -5,42 +4,71 = -0,71 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Рост:

$\bm{(-\infty , 5,6)}$

Снижаться:

$\bm{(5,6,+\infty)}$

Функция переходит от возрастания к убыванию при x=5,6, поэтому x=5,6 является максимумом функции.

Еще,

$x=5,6$

это значение, которое составляет максимальную поверхность. Теперь посчитаем стоимость

$y :$

$y = \cfrac{40-2\cdot 5,6- \pi \cdot 5,6}{4} = 2,80$

Таким образом, значения, составляющие максимальную поверхность, составляют:

$\bm{x = 5,60} \ \mathbf{m}$

$\bm{y = 2,80} \ \mathbf{m}$

Проблема 6

Мы хотим построить резервуар цилиндрической формы площадью 54 см ² . Определите радиус основания и высоту цилиндра так, чтобы объем был максимальным.

Посмотреть решение

Шаг 1: Установите функцию, которую необходимо оптимизировать.

Объем цилиндра рассчитывается по следующей формуле:

$V= A_{base}\cdot h$

Площадь основания — круг, поэтому его формула:

$A_{\text{base}}=\pi r^2$

. Следовательно, формула объема цилиндра имеет вид:

$V= \pi r^2 \cdot h$

Функция оптимизации у нас уже есть. Но это зависит от двух переменных (

$r$

$h$

), хотя это может зависеть только от одного. Однако утверждение говорит нам, что площадь цилиндра должна быть 54 см ² , поэтому мы воспользуемся этим условием, чтобы найти соотношение между

$r$

$h .$