Транспонировать матрицу (или транспонировать)

На этой странице мы увидим, как вычислить матрицу транспонирования (или транспонирования) . Вы также увидите решенные упражнения, чтобы у вас не осталось сомнений, как транспонировать матрицу.

Как вычислить транспонированную матрицу (или транспозицию)?

Матрица транспонирования , также называемая матрицей транспонирования, — это матрица, полученная путем замены строк на столбцы . Транспонированная матрица обозначается буквой «t» в правом верхнем углу матрицы (A ^t ).

Например , давайте транспонируем следующую матрицу:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

Чтобы транспонировать матрицу А, просто замените строки столбцами . Другими словами, первая строка матрицы становится первым столбцом матрицы, а вторая строка матрицы становится вторым столбцом матрицы:

$\displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Вот несколько рабочих примеров того, как найти транспонированную матрицу:

Примеры транспонированных матриц

Пример 1

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\displaystyle B^t= \begin{pmatrix} 1 & 7\\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}$

Пример 2

$\displaystyle C= \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\[1.1ex] 5 & 3 & 2 \\[1.1ex] 6 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\displaystyle C^t= \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}$

Пример 3

$\displaystyle D= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -1 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\displaystyle D^t= \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

Пример 4

$\displaystyle E= \begin{pmatrix} 9 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\displaystyle E^t= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

Одним из применений транспонирования матрицы является вычисление обратной матрицы с помощью прилагаемой матричной формулы или определителей . Хотя для использования этого метода вам также необходимо знать, как решать определители, на связанной странице вы найдете объяснение всей процедуры, а также сможете увидеть примеры и упражнения, решаемые шаг за шагом.

Свойства транспонированной матрицы

Транспонированная матрица имеет следующие характеристики:

Инволюционное свойство: Транспонирование транспонированной матрицы равно исходной матрице.

$\left(A^t\right)^t = A$

Распределительное свойство: добавление двух матриц с последующим транспонированием результата означает сначала транспонирование каждой матрицы, а затем ее сложение:

$\left(A+B\right)^t = A^t+B^t$

Линейное свойство (произведение матриц): умножение двух матриц и последующее транспонирование результата эквивалентно первому транспонированию каждой матрицы, а затем их умножению, но с чередованием порядка умножения:

$\left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t$

Линейное (постоянное) свойство: транспонирование результата произведения матрицы на константу эквивалентно умножению уже транспонированной матрицы на константу.

$\left(c\cdot A\right)^t = c\cdot A^t$

Симметричная матрица: Если транспонированная матрица равна матрице без транспонирования, мы говорим, что это симметричная матрица:

$\left.\begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \right.^t = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

Антисимметричное свойство: если при транспонировании математической матрицы мы получаем ту же матрицу, но со всеми элементами, изменившими знак, это антисимметричная матрица:

$\left.\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 0 & 6 \\[1.1ex] -4 & -6 & 0 \end{pmatrix}\right.^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -6 \\[1.1ex] 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

Как вычислить транспонированную матрицу (или транспозицию)?

Примеры транспонированных матриц

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Свойства транспонированной матрицы

Оставьте комментарий Отменить ответ