Смешанное произведение трех векторов (или тройное скалярное произведение)

На этой странице мы объясняем, что такое смешанное произведение трех векторов (или тройное скалярное произведение) и как оно рассчитывается. Вы также увидите примеры, упражнения и решенные задачи по этому типу операций между векторами. И, кроме того, вы узнаете о свойствах и применении смешанного продукта.

Что такое смешанное произведение трех векторов?

Смешанное произведение трех векторов, также называемое тройным скалярным произведением , представляет собой последовательное умножение трех векторов, включающее два разных типа операций: скалярное произведение и векторное произведение . Итак, комбинация двух векторных операций дает скаляр (действительное число).

Конкретно смешанное произведение состоит из вычисления векторного произведения двух векторов и последующего векторного умножения полученного результата на третий вектор. Написанное так может показаться очень сложным, но на самом деле это не так уж и много, посмотрите на формулу тройного скалярного произведения:

\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] = \vv{\text{u}} \cdot ( \vv{\text{v}}\times \vv{\text{w}})

Как видно в его формуле, смешанное произведение трех векторов обозначается двумя квадратными скобками.

Как вычислить смешанное произведение трех векторов?

Формула тройного скалярного произведения — это та, которую мы только что видели в предыдущем разделе, однако она обычно не используется для определения смешанного произведения трех векторов, поскольку есть другой, более простой и быстрый способ:

Пусть любые 3 вектора будут:

\vv{\text{u}}= (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) \qquad \vv{\text{v}}= (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\qquad \vv{\text{w}}= (\text{w}_x,\text{w}_y,\text{w}_z)

Чтобы вычислить смешанное произведение трех векторов, просто решите определитель 3×3, образованный компонентами векторов:

\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]=\begin{vmatrix} \text{u}_x & \text{u}_y & \text{u}_z \\[1.1ex] \text{v}_x &\text{v}_y&\text{v}_z \\[1.1ex] \text{w}_x & \text{w}_y & \text{w}_z \end{vmatrix}

Итак, вы можете увидеть пример того, как это рассчитывается , мы найдем смешанное произведение следующих трех векторов:

\vv{\text{u}}= (1,2,0) \qquad \vv{\text{v}}= (0,-1,3)\qquad \vv{\text{w}}= (-2,4,1)

Для определения смешанного произведения построим определитель третьего порядка, расположив векторы в строках матрицы:

\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix}

А теперь нам просто нужно решить определитель матрицы, для этого можно использовать любой метод. В этом случае мы применим правило Сарруса (но это можно сделать и с помощью дополнений или кофакторов):

\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= -1-12+0-0-12-0 \\[2ex] & = \bm{-25} \end{aligned}

Чтобы показать, что эти две процедуры эквивалентны, мы вычислим смешанное произведение одних и тех же векторов посредством их определения:

\begin{aligned} \bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] & = \vv{\text{u}} \cdot ( \vv{\text{v}}\times \vv{\text{w}})\\[2ex] &=(1,2,0) \cdot \Bigl( (0,-1,3)\times (-2,4,1)\Bigr) \\[2ex] & = (1,2,0) \cdot \begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 0& -1 & 3 \\[1.1ex] -2 &4&1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= (1,2,0) \cdot (-13,-6,-2) \\[2ex] & = \bm{-25} \end{aligned}

Мы рекомендуем вычислять смешанное произведение через определитель векторов, так как это быстрее и меньше шансов допустить ошибку. Но, как видите, результат один и тот же независимо от того, какой метод вы используете, поэтому используйте тот, который вам больше нравится. 👍

Геометрическая интерпретация смешанного продукта

Когда вы узнаете, как найти смешанное произведение трех векторов, у вас может возникнуть вопрос… а для чего нужно смешанное произведение? Что ж, в математике у него есть два основных применения: вычисление объема параллелепипеда и объема тетраэдра.

Объем параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения векторов, обозначающих три измерения геометрического поля.

пример смешанного произведения трех векторов или тройного скалярного произведения

Другое применение смешанного произведения — определение объема тетраэдра . Поскольку геометрически шестая часть абсолютной величины смешанного произведения представляет собой объём тетраэдра:

смешанное произведение трех векторов в r3

Свойства смешанного произведения или тройного скалярного произведения

Смешанное произведение, или тройное скалярное произведение, имеет следующие характеристики:

  • В общем случае изменение порядка векторов смешанного произведения также подразумевает изменение знака. Следовательно, порядок смешанных векторов произведений важен.

\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] = -\bigl[\vv{\text{v}},\vv{\text{u}},\vv{\text{w}}\bigr] = -\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{w}},\vv{\text{v}}\bigr] = - \bigl[\vv{\text{w}},\vv{\text{v}},\vv{\text{u}}\bigr]

  • Однако если циклически менять порядок, знак не изменится:

\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] = \bigl[\vv{\text{v}},\vv{\text{w}},\vv{\text{u}}\bigr] = \bigl[\vv{\text{w}},\vv{\text{u}},\vv{\text{v}}\bigr]

  • В трехмерном пространстве (в R3) смешанное произведение трех линейно зависимых или компланарных векторов (принадлежащих одной плоскости) равно 0.

Исправлены проблемы со смешанными продуктами

Упражнение 1

Даны 3 вектора:

\vv{\text{u}}= (3,-1,2) \qquad \vv{\text{v}}= (-2,0,1)\qquad \vv{\text{w}}= (5,1,-1)

Вычислите смешанное произведение трех векторов:

\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]

Чтобы найти его смешанное произведение, надо решить определитель, составленный из координат векторов:

\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\[1.1ex] -2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 5 & 1 & -1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 0-5-4-0-3+2 \\[2ex] & = \bm{-10} \end{aligned}

Упражнение 2

Даны 3 вектора:

\vv{\text{u}}= (7,2,-3) \qquad \vv{\text{v}}= (2,4,9)\qquad \vv{\text{w}}= (4,3,-1)

Определите смешанный продукт между тремя векторами:

\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]

Чтобы найти его смешанное произведение, нам нужно найти определитель, который имеет декартовы координаты векторов в линейной форме:

\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 7 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 9 \\[1.1ex] 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= -28+72-18+48-189+4 \\[2ex] & = \bm{-111} \end{aligned}

Упражнение 3

Вычислите объем параллелепипеда, 3 стороны которого представляют собой следующие векторы:

\vv{\text{u}}= (0,2,5) \qquad \vv{\text{v}}= (-1,6,2)\qquad \vv{\text{w}}= (3,1,2)

Объем параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трех векторов, которые у него есть ребра. Поэтому сначала вычисляем тройное векторное произведение векторов:

\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 6 & 2 \\[1.1ex] 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 0+12-5-90-0+4 \\[2ex] & = -79 \end{aligned}

Так что объем параллелепипеда является абсолютной величиной результата смешанного произведения:

V= \lvert -79 \rvert = \bm{79}\ \mathbf{u}\bm{^3}

Упражнение 4

Вычислите объем тетраэдра, вершинами которого являются следующие точки:

A(1,0,2) \qquad B(3,3,2)\qquad C(5,-1,4)\qquad D(4,2,1)

Сначала вычислим векторы, представляющие ребра тетраэдра:

\vv{AB}=B-A= (3,3,2)-(1,0,2)=(2,3,0)

\vv{AC}=C-A= (5,-1,4)-(1,0,2)=(4,-1,2)

\vv{AD}=D-A= (4,2,1)-(1,0,2)=(3,2,-1)

Объем тетраэдра эквивалентен одной шестой абсолютной величины смешанного произведения трех векторов, которые он имеет для ребер. Поэтому сначала вычисляем смешанное произведение найденных векторов:

\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] 4 & -1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 2+18+0-0-8+12 \\[2ex] & = 24 \end{aligned}

Таким образом, объем тетраэдра будет составлять одну шестую абсолютной величины смешанного продукта:

V= \cfrac{1}{6} \cdot \lvert 24 \rvert = \cfrac{24}{6} = \bm{4} \ \mathbf{u}\bm{^3}

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Прокрутить вверх