Правило Крамера

На этой странице вы увидите, что такое правило Крамера, а также найдете примеры и упражнения с решением систем уравнений по правилу Крамера.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод решения систем уравнений с помощью определителей. Давайте посмотрим, как он используется:

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} ax+by+cz= \color{red}\bm{j} \\[1.5ex] dx+ey+fz=\color{red}\bm{k} \\[1.5ex] gx+hy+iz = \color{red}\bm{l} \end{cases}$

Матрица A и расширенная матрица A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\[1.1ex] d & e & f \\[1.1ex] g & h & i \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} a & b & c & \color{red}\bm{j} \\[1.1ex] d & e & f & \color{red}\bm{k} \\[1.1ex] g & h & i & \color{red}\bm{l} \end{array} \right)$

Правило Крамера гласит, что решением системы уравнений является:

что такое правило Крамера, объяснение правила Крамера

Обратите внимание, что определители числителей аналогичны определителям матрицы A, но столбец каждого неизвестного заменяется столбцом независимых членов.

Поэтому правило Крамера используется для решения систем линейных уравнений. Но, как вы уже знаете, существует множество способов решения системы уравнений, например хорошо известен метод Гаусса-Жордана .

Ниже приведены примеры решения систем линейных уравнений с помощью правила Крамера, которое иногда также записывают как правило Крамера.

Пример 1: определенная совместимая система (SCD)

Решите следующую систему из трех уравнений с тремя неизвестными, используя правило Крамера:

$\begin{cases} 2x+y+3z= 1 \\[1.5ex] 3x-2y-z=0 \\[1.5ex] x+3y+2z = 5\end{cases}$

Сначала мы создаем матрицу A и расширенную матрицу A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2 & 5 \end{array} \right)$

Теперь мы вычислим ранг двух матриц, чтобы увидеть, что это за система. Чтобы вычислить ранг A, мы вычисляем определитель 3 × 3 всей матрицы (используя правило Сарруса) и смотрим, дает ли он 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{vmatrix} =-8-1+27+6+6-6 = 24 \neq 0$

Определитель матрицы A отличен от 0, поэтому матрица A имеет ранг 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

Таким образом , матрица A’ также имеет ранг 3 , поскольку она не может иметь ранг 4 и должна быть по крайней мере того же ранга, что и матрица A.

$\displaystyle rg(A')=3$

Размер матрицы А равен размеру матрицы А’ и числу неизвестных системы (3), поэтому по теореме Руше-Фробениуса мы знаем, что это детерминированная совместная система (ДСК):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Как только мы узнаем, что система представляет собой SCD, мы применим правило Крамера для ее решения. Для этого напомним, что матрица А, ее определитель и матрица А’ равны:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & \color{red}\bm{1} \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 & \color{red}\bm{0} \\[1.1ex] 1 & 3 & 2 & \color{red}\bm{5} \end{array} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{vmatrix} =24$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle x$

По правилу Крамера мы меняем первый столбец определителя A на столбец независимых членов и делим его на определитель A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} \color{red}\bm{1} & 1 & 3 \\[1.1ex] \color{red}\bm{0} & -2 & -1 \\[1.1ex] \color{red}\bm{5} & 3 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{24}{24} = \bm{1}$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle y$

По правилу Крамера меняем второй столбец определителя А на столбец независимых членов и делим его на определитель А:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & \color{red}\bm{1} & 3 \\[1.1ex] 3 & \color{red}\bm{0} & -1 \\[1.1ex] 1 & \color{red}\bm{5} & 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{48}{24} = \bm{2}$

Рассчитать

$\displaystyle z$

По правилу Крамера меняем третий столбец определителя А на столбец независимых членов и делим его на определитель А:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & \color{red}\bm{1} \\[1.1ex] 3 & -2 & \color{red}\bm{0} \\[1.1ex] 1 & 3 & \color{red}\bm{5}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-24}{24} = \bm{-1}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\displaystyle \bm{x = 1 \qquad y=2 \qquad z = -1}$

Пример 2: Неопределенно совместимая система (ICS)

Решите следующую систему уравнений, используя правило Крамера:

$\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \\[1.5ex] x+5y+3z = 1 \end{cases}$

Сначала мы создаем матрицу A и расширенную матрицу A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3 & 1 \end{array} \right)$

Теперь мы вычисляем диапазон двух матриц и, таким образом, можем увидеть, что это за система. Чтобы вычислить ранг A, мы вычисляем определитель всей матрицы (используя правило Сарруса) и проверяем, равен ли он 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3\end{vmatrix} = 27-2-40-12+15+12= 0$

Определитель дает 0, поэтому матрица A не имеет ранга 3. Но у нее есть определитель 2 × 2, отличный от 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{vmatrix} =9-(-4)=13\neq 0$

Итак, матрица A имеет ранг 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Как только мы узнаем размер матрицы A, мы вычисляем размер матрицы A’. Определитель первых трех столбцов дает 0, поэтому мы пробуем другие возможные определители 3×3 в матрице A’:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \\[1.1ex] 1 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Все определители порядка 3 дают 0. Но, очевидно, матрица A’ имеет тот же определитель, отличный от 0 2×2, что и матрица A:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{vmatrix} =9-(-4)=13\neq 0$

Следовательно, матрица A’ также имеет ранг 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

Итак, поскольку ранг матрицы A равен рангу матрицы A’, но эти два меньше числа неизвестных системы (3), мы знаем по теореме Руше-Фробениуса , что это неопределенно совместимая система. (ИКС):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Когда мы хотим решить совместимую неопределенную систему (SCI), нам нужно преобразовать систему : сначала мы исключаем уравнение, затем преобразуем переменную в λ (обычно переменную z) и, наконец, помещаем члены с λ вместе с независимые термины.

После того, как мы преобразовали систему, мы применим правило Крамера и получим решение системы как функцию λ.

В этом случае исключим из системы последнее уравнение :

$\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \\[1.5ex]\cancel{x+5y+3z = 1} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0\end{cases}$

Теперь преобразуем переменную z в λ:

$\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 3x+2y+4\lambda=1 \\[1.5ex] -2x+3y-\lambda=0\end{cases}$

И члены с λ ставим с независимыми членами:

$\begin{cases} 3x+2y=1-4\lambda \\[1.5ex] -2x+3y=\lambda \end{cases}$

Следовательно, матрица A и матрица A’ системы остаются:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 3 & 2 & 1 -4\lambda \\[1.1ex] -2 & 3 & \lambda \end{array} \right)$

Наконец, преобразовав систему, мы применяем правило Крамера . Поэтому решаем определитель A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3\end{vmatrix} = 13$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle x$

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 -4\lambda & 2 \\[1.1ex] \lambda & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3(1-4\lambda) -2\lambda}{13} = \cfrac{\bm{3-14\lambda} }{\bm{13}}$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle y$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 3 & 1 -4\lambda \\[1.1ex]-2& \lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3\lambda -\bigl(-2(1-4\lambda)\bigr)}{13}= \cfrac{3\lambda -\bigl(-2+8\lambda\bigr)}{13} = \cfrac{\bm{2-5\lambda} }{\bm{13}}$

А решение системы уравнений является функцией от λ, поскольку она является СКИ и, следовательно, имеет бесконечно много решений:

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{3-14\lambda} }{\bm{13}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-5\lambda} }{\bm{13}} \qquad \bm{z = \lambda}$

Правило Крамера решало проблемы

Упражнение 1

Примените правило Крамера для решения следующей системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Упражнение решается шаг за шагом с помощью правила Крамера 2х2.

посмотреть решение

Первое, что нужно сделать, это матрица A и расширенная матрица A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cc} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 2 & 5 & 8 \\[1.1ex] 1 & 4 & 7 \end{array}\right)$

Теперь мы должны найти ранг матрицы А. Для этого проверяем, отличен ли определитель всей матрицы от 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 4 \end{vmatrix} = 8-5=3 \bm{\neq 0}$

Поскольку определитель матрицы 2×2 отличается от 0, матрица A имеет ранг 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Зная ранг A, мы вычисляем ранг A’. Это будет как минимум ранга 2, потому что мы только что видели, что внутри него есть определитель порядка 2, отличного от 0. Более того, он не может иметь ранга 3, поскольку мы не можем не создать определитель 3×3. Следовательно, матрица A’ также имеет ранг 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

Следовательно, применяя теорему Руше-Фробениуса, мы знаем, что это совместимая детерминированная система (SCD), поскольку диапазон A равен диапазону A’ и числу неизвестных.

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 2 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 2 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Как только мы узнаем, что система представляет собой SCD, мы применим правило Крамера для ее решения.

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle x$

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 8 & 5 \\[1.1ex] 7 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-3}{3} = \bm{-1}$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle y$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}2 & 8 \\[1.1ex] 1 & 7\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{6}{3} = \bm{2}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\displaystyle \bm{x = -1 \qquad y=2}$

Упражнение 2

Найдите решение следующей системы трех уравнений с тремя неизвестными, используя правило Крамера:

Решено упражнение по правилу Крамера для системы уравнений 3х3.

посмотреть решение

Сначала мы создаем матрицу A и расширенную матрицу A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2\\[1.1ex] -1 & 5 & -1\\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & -1 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 & 0 \end{array}\right)$

Теперь мы находим ранг матрицы A, вычисляя определитель матрицы 3×3 по правилу Сарруса:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & -1\\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 20-9+2-30-1+12=-6 \bm{\neq 0}$

Матрица, имеющая определитель порядка 3, отличный от 0, матрица А имеет ранг 3:

$\displaystyle rg(A)=3$

следовательно, матрица A’ также имеет ранг 3:

$\displaystyle rg(A')=3$

Следовательно, используя теорему Руше-Фробениуса, мы знаем, что это совместимая детерминированная система (СКД), поскольку диапазон A равен диапазону A’ и числу неизвестных.

Как только мы узнаем, что система является SCD, нам нужно применить правило Крамера для решения системы.

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle x$

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\[1.1ex] 4 & 5 & -1\\[1.1ex]0 & -1 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-18}{-6} = \bm{3}$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle y$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 4 & -1\\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-6}{-6} = \bm{1}$

Рассчитать

$\displaystyle z$

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12}{-6} = \bm{-2}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\displaystyle \bm{x =3 \qquad y=1 \qquad z=-2}$

Упражнение 3

Рассчитайте решение следующей системы трех уравнений с тремя неизвестными, используя правило Крамера:

посмотреть решение

Сначала мы создаем матрицу A и расширенную матрицу A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5\\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 & 9 \end{array}\right)$

Вычисляем размер матрицы A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5\\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 \end{vmatrix} =-21-6+40-45+4+28=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{vmatrix} = 3-4 = -1 \neq 0$

$\displaystyle rg(A)=2$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 4 & -7 & 9 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\[1.1ex] 2 & -1 & 5 \\[1.1ex] 3 & -7 & 9\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 0$

Все определители порядка 3 дают 0. Однако матрица A’ имеет тот же определитель 2 × 2, отличный от 0, что и матрица A:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{vmatrix} = 3-4 = -1 \neq 0$

Следовательно, матрица A’ также имеет ранг 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

Поскольку ранг матрицы A равен рангу матрицы A’, но эти два меньше числа неизвестных системы (3), по теореме Руше-Фробениуса мы знаем, что это неопределенная совместимая система (ICS):

Будучи системой ICS, мы должны исключить уравнение. В этом случае исключим из системы последнее уравнение :

$\begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5 \\[1.5ex]\cancel{3x+4y-7z = 9} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5\end{cases}$

Теперь преобразуем переменную z в λ:

$\begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+2y+5\lambda=1 \\[1.5ex] 2x+3y-\lambda=5\end{cases}$

И члены с λ ставим с независимыми членами:

$\begin{cases} x+2y=1-5\lambda\\[1.5ex] 2x+3y=5+\lambda \end{cases}$

Такого, что матрица A и матрица A’ системы остаются:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 -5\lambda \\[1.1ex] 2 & 3 &5+\lambda \end{array} \right)$

Наконец, преобразовав систему, мы применяем правило Крамера . Поэтому решаем определитель A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3\end{vmatrix} =-1$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle x$

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1-5\lambda & 2 \\[1.1ex] 5+\lambda & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3-15\lambda -(10+2\lambda)}{-1} = \cfrac{-7-17\lambda}{-1} = \bm{7+17\lambda}$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle y$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1-5\lambda \\[1.1ex] 2 & 5+\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{5+\lambda -(2-10\lambda)}{-1}= \cfrac{3+11\lambda}{-1} = \bm{-3-11\lambda}$

$\displaystyle \bm{x =7+17\lambda} \qquad \bm{y=-3-11\lambda} \qquad \bm{z = \lambda}$

Упражнение 4

Решите следующую задачу о системе трех уравнений с тремя неизвестными, применив правило Крамера:

$\begin{cases} -2x+5y+z=8 \\[1.5ex] 6x+2y+4z=4 \\[1.5ex] 3x-2y+z = -2 \end{cases}$

посмотреть решение

Сначала построим матрицу A и расширенную матрицу A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}-2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 5 & 1 & 8 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right)$

Теперь давайте вычислим ранг матрицы A, вычислив определитель матрицы 3×3 по правилу Сарруса:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -4+60-12-6-16-30=-8 \bm{\neq 0}$

Матрица, имеющая определитель порядка 3, отличный от 0, матрица А имеет ранг 3:

$\displaystyle rg(A)=3$

следовательно, матрица A’ также имеет ранг 3, поскольку она должна быть по крайней мере того же ранга, что и матрица A, и не может иметь ранг 4, поскольку это матрица размерности 3×4.

$\displaystyle rg(A')=3$

Следовательно, используя теорему Руше-Фробениуса, мы приходим к выводу, что это детерминированная совместимая система (SCD), поскольку диапазон A равен диапазону A’ и числу неизвестных.

Как только мы узнаем, что система является SCD, нам нужно применить правило Крамера для решения системы.

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle x$

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 8 & 5 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{16}{-8} = \bm{-2}$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle y$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}-2 & 8 & 1 \\[1.1ex] 6 & 4 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-6} = \bm{0}$

Рассчитать

$\displaystyle z$

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} -2 & 5 & 8 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & -2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-32}{-8} = \bm{4}$

Таким образом, решение системы линейных уравнений имеет вид:

$\displaystyle \bm{x =-2 \qquad y=0 \qquad z=4}$

Упражнение 5

Решите следующую систему линейных уравнений, используя правило Крамера:

Пример решения системы уравнений по правилу Крамера

посмотреть решение

Сначала мы создаем матрицу A и расширенную матрицу A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 & -10 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 & -2 \end{array}\right)$

Вычисляем размер матрицы A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 \end{vmatrix} =-30-40+3+75-12+4=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{vmatrix} = 15- (2)= 13 \neq 0$

$\displaystyle rg(A)=2$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -2 & -3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & -10 \\[1.1ex] 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix}3 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 4 & -10 \\[1.1ex] 5 & -2 & -2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & -10 \\[1.1ex] 5 & 1 &-2\end{vmatrix} = 0$

Все определители порядка 3 дают 0. Но, очевидно, матрица А’ имеет тот же определитель порядка 2, отличный от 0, что и матрица А:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{vmatrix} = 13 \neq 0$

Следовательно, матрица A’ также имеет ранг 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

Ранг матрицы A равен рангу матрицы A’, но эти два меньше, чем количество неизвестных системы (3), поэтому по теореме Руше-Фробениуса мы знаем, что это неопределенная система, совместимая (SCI). :

Будучи системой ICS, мы должны исключить одно уравнение. В этом случае исключим из системы последнее уравнение :

$\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10 \\[1.5ex]\cancel{5x+y-2z = -2} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10\end{cases}$

Теперь преобразуем переменную z в λ:

$\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 3x-2y-3\lambda=4 \\[1.5ex] -x+5y+4\lambda=-10\end{cases}$

И члены с λ ставим с независимыми членами:

$\begin{cases} 3x-2y=4+3\lambda \\[1.5ex] -x+5y=-10-4\lambda\end{cases}$

Такого, что матрица A и матрица A’ системы остаются:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 3 & -2 & 4+3\lambda \\[1.1ex] 1 & 5 &-10-4\lambda \end{array} \right)$

Наконец, преобразовав систему, мы применяем правило Крамера . Поэтому решаем определитель A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3& -2 \\[1.1ex] -1 & 5\end{vmatrix} =13$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle x$

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4+3\lambda & -2 \\[1.1ex]-10-4\lambda & 5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{20+15\lambda -(20+8\lambda)}{13} = \cfrac{\bm{7\lambda}}{\bm{13}}$

Чтобы вычислить неизвестное

$\displaystyle y$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 3 & 4+3\lambda \\[1.1ex] -1 & -10-4\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-30-12\lambda -(-4-3\lambda)}{13}= \cfrac{\bm{-26-9\lambda}}{\bm{13}}$

Таким образом, решение системы уравнений является функцией от λ, так как она является СКИ и, следовательно, система имеет бесконечно много решений:

$\displaystyle \bm{x=} \cfrac{\bm{7\lambda}}{\bm{13}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-26-9\lambda}}{\bm{13}} \qquad \bm{z = \lambda}$

Что такое правило Крамера?

Пример 1: определенная совместимая система (SCD)

Пример 2: Неопределенно совместимая система (ICS)

Правило Крамера решало проблемы

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Оставьте комментарий Отменить ответ