Переключаемые матрицы

На этой странице мы объясняем, что такое переключаемые матрицы. Кроме того, вы сможете увидеть примеры, чтобы хорошо понять концепцию, и, наконец, вы найдете пошаговое решаемое упражнение, в котором мы учимся вычислять все матрицы, коммутирующие с любой матрицей.

Что такое переключаемые матрицы?

Две матрицы перестановочны , если результат их произведения не зависит от порядка умножения. Другими словами, переключаемые матрицы удовлетворяют следующему условию:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

Это определение коммутируемых матриц, теперь давайте посмотрим пример:

Пример переключаемых матриц

Следующие две матрицы размерности 2×2 переключаются между собой:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

Коммутативность двух матриц можно продемонстрировать, вычислив их произведение в обоих направлениях:

пример переключаемых матриц размерности 2x2

Как видите, результат обоих умножений один и тот же, независимо от порядка их умножения. Итак, матрицы

$A$

$B$

они переключаемые.

Решенное упражнение по переключению матрицы

Затем мы шаг за шагом увидим, как решить упражнение с перестановочной матрицей:

Определите все матрицы, которые коммутируют со следующей квадратной матрицей:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Для решения этой задачи создадим неизвестную матрицу:

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

Поэтому мы должны найти эту неизвестную матрицу.

Для этого воспользуемся свойством, которому удовлетворяют все коммутирующие матрицы:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Теперь перемножим матрицы в обеих частях уравнения:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

Следовательно, чтобы равенство имело место, должны выполняться следующие уравнения:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Итак, все, что нам нужно сделать, это решить систему уравнений. Из последнего уравнения мы можем сделать вывод, что

$b$

должно быть равно

$c$

$b=c$

И если эти два неизвестных эквивалентны, третье уравнение повторяется со вторым, поэтому мы можем его исключить:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Более того, из первого уравнения мы не можем сделать никаких выводов, потому что:

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

Таким образом, у нас осталось только второе и последнее уравнение:

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Так что матрицы, коммутирующие с матрицей

$A$

все те, которые подтверждают два предыдущих уравнения. Следовательно, подставив найденные выражения в неизвестную матрицу с самого начала, можно найти вид матриц, коммутирующих с

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

Золото

$b$

$d$

два действительных числа.

Итак, пример матрицы, которая будет коммутировать с матрицей

$A$

будет следующим:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

Свойства переключаемых матриц

Переключаемые матрицы имеют следующие характеристики:

Переключаемые массивы не обладают свойством транзитивности . Другими словами, даже если матрица
$A$

коммутировать с матрицами

$B$

И

$C$

, это не значит, что

$B$

И

$C$

переключаются между ними.

Диагональные матрицы коммутируют друг с другом, то есть диагональная матрица коммутирует с любой другой диагональной матрицей.

Аналогично скалярная матрица одинаково коммутирует со всеми матрицами. Например, матрица Identity или Unit коммутирует со всеми матрицами.

Две эрмитовых матрицы коммутируют, если их собственные векторы (или собственные векторы) совпадают.

Очевидно, что нулевая матрица также коммутирует со всеми матрицами.

Если произведение двух симметричных матриц дает другую симметричную матрицу, то эти две матрицы должны коммутировать.

Если диагонализацию двух матриц можно провести одновременно, они должны быть коммутативны. Следовательно, эти две матрицы также имеют один и тот же ортонормированный базис собственных векторов или собственных векторов.

Что такое переключаемые матрицы?

Пример переключаемых матриц

Решенное упражнение по переключению матрицы

Свойства переключаемых матриц

Оставьте комментарий Отменить ответ