Однородный полином

На этой странице объясняется, что такое однородные полиномы. Вы также увидите примеры однородных многочленов и свойства этого типа многочленов. И, кроме того, вы обнаружите разницу между однородными и неоднородными полиномами.

Что такое однородный полином?

Определение однородного многочлена следующее:

В математике однородный многочлен — это многочлен, все члены которого имеют одинаковую степень.

Примером однородного полинома может быть:

$P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz$

В данном случае это однородный многочлен 3-й степени, так как все мономы, входящие в состав многочлена, имеют третью степень.

Если у вас есть какие-либо сомнения относительно того, как вычисляется степень члена однородного многочлена, вы можете проконсультироваться на нашей странице о том , из каких частей состоит моном , где вы не только узнаете, как найти степень одночлена, но и объяснение всех частей одночлена и способы их определения. Кроме того, вы сможете увидеть примеры и попрактиковаться в упражнениях, решаемых шаг за шагом.

Примеры однородных полиномов

После того, как мы увидели, что означает однородность полинома, давайте посмотрим на несколько примеров однородных полиномов, чтобы завершить понимание этой концепции:

Пример однородного полинома 5-й степени:

$P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4$

Пример однородного полинома 7-й степени:

$P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z$

Пример однородного многочлена 13-й степени:

$P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c$

Однородный полином и неоднородный полином

Следует отметить, что еще одним многочленом, очень похожим на однородный многочлен, является неоднородный многочлен, хотя между ними есть принципиальная разница:

Неоднородный многочлен — это многочлен, в котором все члены не имеют одинаковой степени.

Следовательно, только если моном многочлена имеет степень, отличную от остальных элементов, этот многочлен будет неоднородным.

Например, следующий полином является неоднородным:

$P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2$

Хотя два члена многочлена имеют степень 4 (x ⁴ , 2x ³ y), на самом деле он является гетерогенным многочленом, поскольку в нем есть еще один член другой степени (8x ² имеет степень 2).

Как видите, однородные и неоднородные полиномы очень похожи друг на друга и их легко спутать, поэтому нужно быть осторожными.

Свойства однородных полиномов

Однородные полиномы имеют следующие характеристики:

Количество различных однородных мономов степени M в полиноме от N переменных можно вычислить по следующей формуле:

$\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

Возможно, « ! » » Вам кажется странным, что оно используется в алгебре. Ну, вы должны знать, что он используется для обозначения специальной математической операции, называемой факториалом числа . Посмотреть, из чего состоит эта операция и для чего она используется, можно по предыдущей ссылке.

Выражение ряда Тейлора, соответствующего однородному многочлену, расширенному в точке x , имеет следующий вид:

$P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} (\underbrace{x,x,\dots ,x}_{j} & \underbrace{y,y,\dots ,y}_{n-j})$

Однако, чтобы иметь возможность применить (и понять) это свойство, вам необходимо знать, как вычисляется выражение.

$\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} ,$

называется комбинаторным числом. Поэтому, если вы не понимаете предыдущее свойство, рекомендую посмотреть, какова формула комбинаторного числа .

Что такое однородный полином?

Примеры однородных полиномов

Однородный полином и неоднородный полином

Свойства однородных полиномов

Оставьте комментарий Отменить ответ