В этом разделе мы увидим, что это такое и как вычислить дополнительную минорную, сопряженную и сопряженную матрицу . Кроме того, вы найдете примеры, которые помогут вам в совершенстве понять, и упражнения, решенные шаг за шагом, чтобы вы могли практиковаться.
Что такое дополнительный минор?
Его называют младшим дополнением элемента.
к определителю, полученному вычеркиванием строки
и столбец
матрицы.
Как вычислить дополнительный минор элемента?
Давайте посмотрим, как вычисляется дополнительный минор элемента, на некоторых примерах:
Пример 1:
Вычислите младшее дополнение 1 из следующей квадратной матрицы 3 × 3:
Дополнительный минор 1 — это определитель матрицы, который остается при исключении строки и столбца, в которых находится 1. То есть удаление первой строки и второго столбца:
Пример 2:
На этот раз мы вычислим дополнительный минор 0 той же матрицы, что и раньше:
Дополнительный минор 0 является определителем матрицы путем удаления строки и столбца, в которых находится 0:
Решенные упражнения для дополнительных миноров
Упражнение 1
Вычислите наименьшее дополнение к трем из следующей матрицы 3×3:
Упражнение 2
Найдите дополнительный минор числа 5 в следующей матрице третьего порядка:
Упражнение 3
Вычислите младшее дополнение к 6 из следующей матрицы 4×4:
Что является сопряженным элементом массива?
Заместитель
, т. е. позиция
и столбец
, получается по следующей формуле:
Как получить сопряженный элемент массива?
Давайте посмотрим, как вычисляется сопряженное элементу, на нескольких примерах:
Пример 1:
Вычислите сопряженное число 4 следующей матрицы порядка 3:
4 находится во второй строке и столбце 1 , поэтому в этом случае
И
И, как мы видели ранее, младшее дополнение к 4 является определителем матрицы, исключая строку и столбец, в которых находится 4. Поэтому:
Теперь решаем определитель и находим сопряженное к 4:
Помните , что отрицательное число, возведенное в четную степень, является положительным. Следовательно, если -1 возвести в четное число, оно станет положительным.
С другой стороны, если отрицательное число возвести в нечетную степень, оно станет отрицательным. Следовательно, если -1 возвести в нечетное число, оно всегда будет отрицательным.
Пример 2:
Найдем заместителя 5 той же матрицы, что и ранее:
Пример 3:
Сделаем заместителем 3 той же матрицы:
Сопряженный элемент используется для вычисления определителей, как мы увидим позже, и для вычисления сопряженной матрицы, что мы и увидим сейчас.
Решенные упражнения для помощников
Упражнение 1
Вычислите сопряженное 2 из следующей матрицы 3×3:
Упражнение 2
Найдите сопряженное к 4 следующей матрицы третьего порядка:
Упражнение 3
Найдите заместителя 7 в следующей матрице 4×4:
Что представляет собой прикрепленная матрица?
Присоединенный массив представляет собой массив, в котором все его элементы заменены своими заместителями.
Как вычислить сопряженную матрицу?
Для расчета матрицы заместителей нам необходимо заменить все элементы матрицы на их заместители.
Давайте посмотрим, как делается объединенная матрица на примере:
Пример:
Вычислите сопряженную матрицу следующей квадратной матрицы размерности 2×2:
Чтобы вычислить сопряженную матрицу, мы должны вычислить сопряженный элемент каждого элемента матрицы . Поэтому сначала определим сопряженные всех элементов по формуле:
Теперь нам просто нужно заменить каждый элемент массива
по его заместителю, чтобы найти заместительную матрицу
И таким образом находится заместитель матрицы. Но вам, наверное, интересно, для чего все эти расчеты? Ну, одна из утилит соединения матриц — вычисление обратной матрицы . Фактически, наиболее распространенным методом нахождения обратной матрицы является метод сопряженной матрицы.
Решенные проблемы сопряженных матриц
Упражнение 1
Вычислите сопряженную матрицу следующей квадратной матрицы 2×2:
Упражнение 2
Найдите сопряженную матрицу следующей матрицы второго порядка:
Упражнение 3
Вычислите сопряженную матрицу следующей матрицы 3×3: