Как вычислить определитель матрицы 4×4 с помощью дополнений или кофакторов

На этой странице мы увидим, как решить определитель с помощью сложений или кофакторов , а также как вычислить определитель матрицы размером 4×4 . Однако, чтобы решить определитель матрицы 4-го порядка, необходимо сначала знать, как вычислить определитель, используя сопряженные строки или столбца. Поэтому мы сначала посмотрим, как найти определитель с помощью сопряженных или кофакторов, а затем как составить определитель порядка 4 .

Как вычислить определитель по сложению или сомножителям?

Определитель можно вычислить путем сложения произведений элементов в любой строке или столбце на их соответствующие дополнения (или кофакторы) .

Этот метод называется решением определителя с помощью сопряженных или кофакторов, или есть даже математики, которые также расскажут вам правило Лапласа (или теорему Лапласа).

Пример решения определителя заместителями:

Давайте посмотрим практический пример решения определителя матрицы 3×3 с помощью сопряженных. Составим следующий определитель:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}$

Сначала нам нужно выбрать столбец или строку определителя. В данном случае мы выбираем первый столбец , так как он имеет 0 и, следовательно, его будет легче решить.

Теперь мы должны умножить элементы первого столбца на их соответствующие заместители :

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

Дополнение до 0 вычислять не нужно, поскольку умножение его на 0 приведет к его отмене. Таким образом, мы можем упростить:

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

Теперь приступим к вычислению дополнений :

$\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}$

Помните, что для вычисления заместителя

$a_{ij}$

, т. е. позиция

$i$

и столбец

$j$

, необходимо применить следующую формулу:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

где дополнительный минор

$a_{ij}$

является определителем матрицы путем удаления строки

$i$

и столбец

$j$

Решаем степени и определители:

$= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)$

$= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17$

И действуем калькулятором:

$= -54 + 51$

$= \bm{-3}$

Следовательно, результат определителя равен -3.

Обратите внимание: если мы вычислим определитель по правилу Саррюса, мы получим тот же результат:

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

Как только мы узнаем, как депутаты вычисляют определитель, теперь мы можем увидеть, как найти результат определителя 4-го порядка:

Как вычислить определитель 4×4?

Чтобы решить определитель матрицы порядка 4 , мы должны применить процедуру, которую мы только что видели для депутатов. То есть мы выбираем любую строку или столбец и складываем произведения ее элементов на соответствующие дополнения.

Однако, используя эту процедуру с определителем 4 × 4, необходимо вычислить множество определителей 3 × 3, и это обычно занимает много времени. Поэтому перед вычислением сопряженных на линиях производятся преобразования , аналогичные методу Гаусса. Так как строку определителя можно заменить суммой этой же строки плюс другая строка, умноженной на число.

Поэтому для вычисления определителя 4-го порядка по заместителям необходимо выбрать тот столбец, который содержит наибольшее количество нулей , так как это облегчит вычисления. А затем мы выполняем внутренние операции над строками, чтобы все элементы в столбце были нулевыми, кроме одного.

Давайте посмотрим, как составляется определитель 4х4 на примере:

Пример решения определителя 4×4:

Мы решим этот определитель следующей квадратной матрицы 4×4:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$

В этом случае столбец с наибольшим количеством нулей является первым столбцом. Поэтому мы выбираем первый столбец.

И воспользовавшись тем, что в этом столбце стоит 1, мы преобразуем все остальные элементы первого столбца в 0. Так как со строкой, в которой стоит 1, проще производить вычисления.

Поэтому, чтобы превратить все остальные элементы в столбце в 0, мы прибавляем первую строку ко второй строке и вычитаем первую строку, умноженную на 2, из четвертой строки . Третью строку менять не нужно, поскольку в первом столбце уже стоит 0.

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

После того, как мы преобразуем все элементы выбранного столбца, кроме одного, в 0, мы вычисляем определитель по заместителям. То есть мы добавляем произведения элементов столбца по их соответствующим заместителям:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Слагаемые, умноженные на 0, отменяются, поэтому упрощаем их:

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}$

$=\text{Adj(1)}$

Поэтому достаточно вычислить сопряженное к 1:

$\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

Определитель вычисляем по правилу Саррюса и степени:

$\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]$

$=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0$

И наконец решаем действия с калькулятором:

$\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0$

$\displaystyle =\bm{98}$

Решенные упражнения определителей 4х4

Упражнение 1

Решите следующий определитель четвертого порядка:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Результат определителя 4×4 найдем методом кофактора. Но сначала мы проделываем операции со строками, чтобы обнулить все элементы столбца, кроме одного:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

А теперь решаем определитель 4×4 по сопряженным с последним столбцом:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Упрощаем условия:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

Вычисляем сопряженное к 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

И, наконец, вычисляем определитель 3×3 по правилу Сарруса:

$\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{38}$

Упражнение 2

Вычислим следующий определитель четвертого порядка:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Определитель 4×4 будем вычислять по сомножителям. Но для этого мы сначала выполняем операции со строками, чтобы обнулить все элементы столбца, кроме одного:

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}$

Теперь решаем определитель 4×4 по сопряженным со вторым столбцом:

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Упрощаем условия:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

Вычисляем сопряженное к 1:

$\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}$

И, наконец, вычисляем определитель 3х3 с помощью правила Саррюса и калькулятора:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{124}$

Упражнение 3

Найдите результат следующего определителя четвертого порядка:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Определитель 4х4 будем решать депутатами. Хотя сначала мы выполняем операции со строками, чтобы преобразовать в ноль все элементы столбца, кроме одного:

$\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}$

Теперь решаем определитель 4х4 заместителями с третьим столбцом:

$\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Упрощаем условия:

$= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

Вычисляем сопряженное к 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}$

И, наконец, решаем определитель 3×3 с помощью правила Саррюса и калькулятора:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{69}$

Упражнение 4

Вычислим результат следующего определителя четвертого порядка:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

посмотреть решение

Определитель 4×4 будем решать по правилу Лапласа. Но сначала необходимо выполнить операции со строками, чтобы обнулить все элементы столбца, кроме одного:

$\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}$

Теперь решаем заместителями определитель 4×4 с первым столбцом:

$\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

Упрощаем условия:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

$=- \text{Adj(-1)}$

Вычисляем сопряженное к -1:

$\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}$

И, наконец, решаем определитель 3×3 с помощью правила Саррюса и калькулятора:

$\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]$

$\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]$

$\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{-441}$

Благодаря всей этой практике вы, вероятно, уже знаете, как решать определители 4×4. Фантастика! Мы надеемся, что с помощью всех этих упражнений вы теперь сможете вычислить диапазон матрицы размером 4×4 , которая стоит так много людей.

Как вычислить определитель матрицы 4х4 с помощью дополнений или кофакторов

Как вычислить определитель по сложению или сомножителям?

Пример решения определителя заместителями:

Как вычислить определитель 4×4?

Пример решения определителя 4×4:

Решенные упражнения определителей 4х4

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Оставьте комментарий Отменить ответ