Совпадающие линии – Маторность

Здесь вы найдете все о совпадающих линиях: что они означают, как определить совпадение двух линий, их свойства и т.д. Кроме того, вы сможете увидеть примеры и решенные упражнения на совпадающие линии.

Что такое две совпадающие прямые?

Две совпадающие прямые – это две прямые, у которых все точки общие. Следовательно, две совпадающие линии совершенно идентичны.

Например, ниже у вас есть две совпадающие линии, но вы видите только одну, потому что они перекрываются (они равны).

Две совпадающие линии всегда имеют одно и то же направление, поэтому геометрически они образуют угол 0°.

С другой стороны, помните, что на плоскости существует 4 возможности в понятии относительного положения между двумя прямыми: две прямые могут быть совпадающими, параллельными , секущими и перпендикулярными . Если хотите, вы можете проверить значение каждого типа линий и разницу между ними по этим трем ссылкам.

Как узнать, совпадают ли две линии?

Знание того, когда совпадают две линии, зависит от того, работаете ли вы с двумя координатами (в R2) или с тремя координатами (в R3).

Определить две совпадающие прямые на плоскости.

Когда мы работаем в двумерном (2D) пространстве, очень легко увидеть, когда две линии совпадают, а когда они не возникают из неявного уравнения или явного уравнения линии.

Помимо этих двух способов, мы также можем проверить совпадение двух линий, решив систему уравнений, образованную уравнениями двух линий (если система дает бесконечные решения, это означает, что они совпадают). Но эта процедура более сложная и трудоемкая, поэтому мы не будем ее подробно объяснять, поскольку ее лучше делать из коэффициентов неявного уравнения или явного уравнения.

Из неявного (или общего) уравнения линии

Один из способов определить, совпадают ли две линии, — использовать неявное уравнение линии, также известное как общее или декартово уравнение.

Неявное уравнение линии соответствует следующему выражению:

$Ax+By+C=0$

Ну , если две линии имеют три пропорциональных коэффициента (А, В и С) , то это означает, что они совпадают.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Например, совпадают следующие две строки:

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

А совпадают они потому, что параметры A, B и C пропорциональны друг другу:

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

Из явного уравнения линии

Другой способ узнать, совпадают ли две линии на самом деле, — использовать явное уравнение линии. Напомним, что явное уравнение линии имеет следующий вид:

$y=mx+n$

Если две линии имеют одинаковый наклон (коэффициент m) и одинаковую ординату в начале координат (коэффициент n), они представляют собой две объединенные линии.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Например, следующие две линии одинаковы, поскольку изначально они имеют одинаковые наклоны и ординаты:

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

Следует отметить, что если бы они имели одинаковый наклон, но разный порядок в начале координат, они были бы параллельными, а не совпадающими линиями.

Наконец, как вы можете видеть в примере, две совпадающие линии имеют одно и то же явное уравнение. Это применимо к любому типу уравнения линии: если две линии совпадают в их уравнении, это означает, что они совпадают.

найти две совпадающие линии в пространстве

Выделение двух совпадающих линий в пространстве (в R3) отличается от выделения в декартовой плоскости (в R2), поскольку расчеты необходимо вести с еще одной координатой. Итак, посмотрим, как это делается:

Даны уравнения двух разных линий в пространстве:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

И пусть M и M’ — матрицы, образованные коэффициентами строк:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

Тогда, если ранг матриц M и M’ равен 2, две строки совпадают.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Давайте посмотрим на пример совпадающих линий в пространстве с помощью упражнения, решаемого шаг за шагом:

Определите, совпадают ли следующие две строки:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

Матрица M и расширенная матрица M’ коэффициентов строк:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

После того, как мы построили обе матрицы, нам нужно вычислить диапазон каждой матрицы:

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

Ранги двух матриц эквивалентны и, более того, они равны 2. Таким образом, две строки путаются.