Операции с функциями: сложение, вычитание, произведение, деление и состав.

В этой статье мы объясним, какие операции можно выполнять с функциями. Вы сможете увидеть пояснения, а также решенные упражнения по работе с функциями. И наконец, вы найдете свойства операций с функциями.

Что такое операции с функциями?

С функциями можно выполнять 5 различных типов операций: сложение, вычитание, произведение, деление и композиция. То есть две функции можно складывать, вычитать, умножать, делить или составлять.

Далее мы увидим, как осуществляется каждый тип операции с функциями и характеристиками каждой из них.

Сумма функций

Значение суммы (или сложения) двух функций равно сумме значений каждой функции. Другими словами, чтобы вычислить образ функции суммы, просто сложите изображения функций, участвующих в операции.

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

Более того, область определения суммы двух функций является пересечением области определения каждой суммируемой функции.

$\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Давайте посмотрим, как добавляются две функции на примере:

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=\log(x-1)$

Сначала мы добавляем две функции:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+1+\log(x-1)$

И теперь мы находим область определения функции суммы. Для этого вычислим область определения каждой функции отдельно:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=(1,+\infty)$

➤ См.: как вычислить область определения функции.

Тогда область определения функции, полученной в результате операции, будет:

$\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(1,+\infty)$

Каждая операция с функциями должна сопровождаться ее областью определения, чтобы полностью определить результат.

Вычитание функций

Образ вычитания (или разности) двух функций — это вычитание образов каждой функции, участвующей в операции:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

Как и в случае с функцией сложения, область вычитания двух функций эквивалентна пересечению области определения каждой функции.

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Итак, если функция не определена при определенном значении независимой переменной x, то и функция, полученная в результате вычитания, не будет определена.

Давайте посмотрим, как вычитаются две функции, на примере:

$f(x)=\sqrt{x}\qquad g(x)=\cfrac{3}{x-4}$

Сначала вычитаем две функции:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-\cfrac{3}{x-4}$

А затем определяем область определения функции вычитания:

$\text{Dom}(f)=[0,+\infty)\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{4\}$

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=[0,4)\cup (4,+\infty)$

Флагманский продукт

Чтобы вычислить произведение или (умножение) двух функций , вам просто нужно перемножить выражения каждой функции.

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

С другой стороны, область определения функции произведения представляет собой набор пересечений области определения каждой умноженной функции.

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Например, если у нас есть следующие две функции:

$f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\qquad g(x)=\cfrac{2}{3x+6}$

Сначала выполняем работу изделия с двумя функциями:

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\cfrac{2}{3x+6}=\cfrac{2\sqrt[3]{x^2-1}}{3x+6}$

И, наконец, находим область определения функции, полученной в результате операции:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{-2\}$

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)$

Распределение функций

Численный результат деления (или частного) двух функций соответствует следующему уравнению:

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

Однако областью деления двух функций является множество пересечений области определения каждой функции за вычетом всех x, которые отменяют функцию, действующую как делитель, потому что в противном случае мы получили бы неопределенность.

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}$

В качестве примера мы разделим следующие функции:

$f(x)=5^x \qquad g(x)=x-3$

Распределение функций следующее:

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{5^x}{x-3}$

С другой стороны, область определения каждой функции в отдельности состоит из всех действительных чисел.

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}$

Однако, поскольку в знаменателе дроби не может быть нуля, в области определения результирующей функции необходимо удалить все значения, сокращающие знаменатель (х=3).

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}=\mathbb{R}-\{3\}$

Состав функций

Композиция функций — самая сложная операция, поскольку это самая сложная концепция.

Композиция функций состоит из последовательного применения двух функций. Алгебраически композиция двух функций выражается следующим образом:

$(g\circ f)(x)=g\Bigl(f(x)\Bigr)$

С другой стороны, область композиции функций

$(g\circ f)(x)$

эквивалентно множеству всех значений x в области определения функции

$f$

такой как

$f(x)$

принадлежит области функции

$g.$

$\text{Dom}(g\circ f)=\{x\in\text{Dom}(f)\ | \ f(x)\in \text{Dom}(g)\}$

Например, учитывая следующие две функции:

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=3x-4$

Чтобы найти составную функцию

$f$

с последующим

$g$

нам нужно заменить выражение

$f(x)$

где есть один

$x$

в выражении

$g(x):$

$\begin{aligned}(g\circ f)(x)&=g\Bigl(f(x)\Bigr)\\[2ex]&= g\Bigl(x^2+1\Bigr)\\[2ex]&=3(x^2+1)-4\\[2ex]&=3x^2+3-4\\[2ex]&=3x^2-1\end{aligned}$

В этом случае область определения обеих функций полностью состоит из действительных чисел, поэтому область определения составной функции также будет состоять из вещественных чисел.

$\text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}$

Как видите, составление функций — непростая для понимания операция. Поэтому мы рекомендуем вам попрактиковаться в следующих упражнениях на композицию функций:

➤ См.: решенные упражнения на состав функций.

Свойства операций с функциями

Из всех операций с функциями сумма и произведение характеризуются следующими свойствами:

Ассоциативное свойство : порядок сложения или умножения 3 или более функций не имеет значения.

$f(x)+\bigl[g(x)+h(x)\bigr]=\bigl[f(x)+g(x)\bigr]+h(x)$

$f(x)\cdot \bigl[g(x)\cdot h(x)\bigr]=\bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] \cdot h(x)$

Коммутативное свойство : порядок сложения или умножения двух функций не меняет результат.

$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$

$f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x)$

Нейтральный элемент: операция суммы и операция произведения имеют постоянные функции нейтрального элемента.
$f(x)=0$

И

$f(x)=1$

соответственно.