Обсуждение систем уравнений с параметрами -

На этой странице мы увидим, как обсуждать и решать систему уравнений с параметрами . Кроме того, вы найдете примеры и решенные упражнения систем линейных уравнений для практики.

С другой стороны, для анализа систем линейных уравнений важно знать , что такое правило Крамера и что такое теорема Руше-Фробениуса , потому что мы будем ими постоянно пользоваться.

Пример системы линейных уравнений с параметрами

Обсудите и решите следующую систему уравнений относительно параметра m :

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+my+2z=0 \\[1.5ex] 3x+mz = 4\end{cases}$

Сначала мы создаем матрицу A и расширенную матрицу A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & m & 4 \end{array} \right)$

Теперь мы решаем определитель A, используя правило Сарруса, чтобы увидеть, какого ранга матрица:

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} & =m^2+6+0-6m-0+m \\ & = m^2-5m+6 \end{aligned}$

Таким образом, результат определителя A зависит от значения m . Поэтому мы увидим, при каких значениях m определитель обращается в нуль. Для этого мы устанавливаем результат равным 0 :

$\displaystyle m^2-5m+6 = 0$

И решаем квадратное уравнение по формуле:

$\displaystyle m = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle m = \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \cfrac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} =\cfrac{5 \pm 1}{2} = \begin{cases} \bm{m = 3} \\[2ex] \bm{m =2} \end{cases}$

Итак, когда m равно 2 или 3, определитель A будет 0. А когда m отличается от 2 и отличается от 3, определитель A будет отличен от 0.

Поэтому мы должны анализировать каждый случай отдельно:

м≠3 и м≠2:

Как мы только что видели, когда параметр m отличается от 2 и 3, определитель матрицы A отличен от 0. Следовательно, ранг матрицы A равен 3 .

$\displaystyle rg(A)=3$

Более того, ранг матрицы A’ тоже равен 3 , поскольку внутри нее есть подматрица 3×3, определитель которой отличен от 0. И она не может иметь ранг 4, поскольку «мы не можем составить определитель 4×4.

$\displaystyle rg(A')=3$

Тогда, поскольку ранг матрицы A равен рангу матрицы A’ и числу неизвестных системы (3), по теореме Руше-Фробениуса мы знаем, что это совместимая детерминированная система (SCD). :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Как только мы узнаем, что система является совместимой детерминированной системой (DCS), мы применим правило Крамера для ее решения. Для этого напомним, что матрица А, ее определитель и матрица А’ равны:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} = m^2-5m+6$

Чтобы вычислить x по правилу Крамера, мы меняем первый столбец определителя матрицы A на столбец независимых членов и делим его на определитель A:

$\displaystyle\bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\[1.1ex]0&m&2 \\[1.1ex] 4 & 0 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6}$

Чтобы вычислить y по правилу Крамера, мы заменим второй столбец определителя A на столбец независимых членов и разделим его на определитель A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6}$

Чтобы вычислить z по правилу Крамера, мы меняем третий столбец определителя A на столбец независимых членов и делим его на определитель A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6}$

Следовательно, решение системы уравнений для случая m≠3 и m≠2 имеет вид:

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{2m^2+8-8m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-4+2m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{-2m+4}}{\bm{m^2-5m+6}}$

Как видите, в этом случае решение системы уравнений является функцией m.

Как только мы нашли решение для случая, когда m отличается от 2 и 3, мы решим систему для случая, когда m равно 2:

м=2:

Теперь мы будем анализировать систему, когда параметр m равен 2. В этом случае матрицы A и A’ имеют вид:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right)$

Как мы видели ранее, при m=2 определитель матрицы A равен 0. Следовательно, матрица A не имеет ранга 3. Но внутри нее имеется 2×2 определителя, отличных от 0, например:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

Итак, в данном случае ранг A равен 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Зная ранг матрицы A, мы вычисляем ранг A’. Определитель первых трех столбцов дает 0, поэтому мы пробуем другие возможные определители 3×3 в матрице A’:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}=0\qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}=0$

Все возможные определители размерности 3×3 дают 0. Но, очевидно, матрица A’ имеет тот же определитель 2×2, отличный от 0, что и матрица A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

Следовательно, матрица A’ также имеет ранг 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

Итак, поскольку ранг матрицы A равен рангу матрицы A’, но эти два меньше числа неизвестных системы (3), мы знаем по теореме Руше-Фробениуса , что это неопределенно совместимая система. (ИКС):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Поскольку это АСУ ТП, нам необходимо преобразовать систему для ее решения. Для этого нам необходимо сначала исключить уравнение из системы, в этом случае мы удалим последнее уравнение:

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x+2z = 4} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0\end{cases}$

Теперь преобразуем переменную z в λ:

$\begin{cases}x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+y+2\lambda= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2\lambda=0\end{cases}$

И члены с λ ставим с независимыми членами:

$\begin{cases}x+y=2-2\lambda \\[1.5ex] -x+2y=-2\lambda \end{cases}$

Следовательно, матрица A и матрица A’ системы остаются:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & 2 & -2\lambda \end{array} \right)$

Наконец, преобразовав систему, мы применяем правило Крамера . Для этого сначала решим определитель А:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2\end{vmatrix} =2-(-1)=3$

Чтобы вычислить x по правилу Крамера, мы заменим первый столбец определителя A на столбец независимых членов и разделим его на определитель A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 -2\lambda & 1 \\[1.1ex] -2\lambda & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{4-4\lambda-(-2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}}$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & -2\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-2\lambda -(-2+2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{2-4\lambda} }{\bm{3}}$

Итак, при m=2 решение системы уравнений является функцией λ, поскольку она является СКИ и, следовательно, имеет бесконечные решения:

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-4\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{z=\lambda}$

Мы уже анализировали решение системы, когда параметр m отличен от 2 и 3, а также когда он равен 2. Поэтому нам нужен только последний случай: когда m принимает значение 3:

м=3:

Теперь мы проанализируем, что происходит, когда параметр m равен 3. В этом случае матрицы A и A’ имеют вид:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right)$

Как мы видели ранее, при m=3 определитель A равен 0. Таким образом, матрица A не имеет ранга 3. Но внутри нее есть 2×2 определителя, отличных от 0, например:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - (-1)=4 \neq 0$

Итак, в данном случае ранг A равен 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Зная ранг матрицы A, мы вычисляем ранг A’. Определитель первых трех столбцов дает 0, поэтому мы пробуем другой определитель 3×3, который находится внутри матрицы A’, например, определитель последних трех столбцов:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 4\end{vmatrix}=2$

С другой стороны, матрица A’ содержит определитель, результат которого отличен от 0, поэтому матрица A’ имеет ранг 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Таким образом, при m = 3 ранг матрицы A ниже ранга матрицы A’. Таким образом, из теоремы Руше-Фробениуса мы делаем вывод, что система является несовместимой системой (НС) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas}=3\end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A)=2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Следовательно, система уравнений не имеет решения при m = 3.

Краткое изложение примера:

Как мы видели, решение системы уравнений зависит от значения параметра m . Вот краткое описание всех возможных случаев:

м≠3 и м≠2:

$\displaystyle \bm{SCD} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] y =\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] z = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6} \end{cases}$

м=2:

$\displaystyle \bm{SCI} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{4-2\lambda}{3} \\[3.5ex] y= \cfrac{2-4\lambda}{3} \\[3.5ex] z = \lambda \end{cases}$

м=3:

$\displaystyle \bm{SI} \longrightarrow$

Система не имеет решения.

Здесь мы проделали весь процесс, используя теорему Руша и правило Крамера, но системы уравнений с параметрами также можно обсуждать и решать методом Гаусса (с упражнениями) . Вы можете узнать больше об этом методе на связанной странице, где вы найдете подробное объяснение процедуры, а также примеры и пошаговые решения упражнений.

Решенные дискуссионные задачи систем линейных уравнений с параметрами

Упражнение 1

Обсудите и решите следующую систему линейных уравнений, зависящих от параметров:

решено упражнение систем уравнений с параметрами

посмотреть решение

Сначала мы создаем матрицу A и расширенную матрицу A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

Теперь мы должны найти ранг матрицы А. Для этого проверяем, отличен ли определитель всей матрицы от 0:

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{vmatrix} & =-4m+9-2-3-24-m \\ & =-5m-20 \end{aligned}$

Результат определителя A зависит от значения m. Поэтому мы увидим, при каких значениях m определитель обращается в нуль. Для этого приравниваем полученный результат к 0 и решаем уравнение:

$-5m-20 = 0$

$-5m = 20$

$m = \cfrac{20}{-5} = -4$

Итак, когда m равно -4, определитель A будет 0. А когда m отличается от -4, определитель A будет отличен от 0. Поэтому мы должны анализировать каждый случай отдельно:

м≠-4:

Как мы только что видели, когда параметр m отличается от -4, определитель матрицы A отличен от 0. Следовательно, ранг матрицы A равен 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

Более того, ранг матрицы А’ тоже равен 3, поскольку внутри нее есть подматрица размера 3×3, определитель которой отличен от 0. И она не может иметь ранга 4, поскольку «мы не можем составить определитель 4×4.

$\displaystyle rg(A')=3$

Следовательно, применяя теорему Руше-Фробениуса, мы знаем, что это совместимая детерминированная система (SCD), поскольку диапазон A равен диапазону A’ и числу неизвестных.

Как только мы узнаем, что система представляет собой SCD, мы применим правило Крамера для ее решения. Для этого напомним, что матрица А, ее определитель и матрица А’ равны:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m\end{vmatrix} =-5m-20$

Чтобы вычислить xatex] по правилу Крамера, мы меняем первый столбец определителя A на столбец независимых членов и делим его на определитель A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -3 \\[1.1ex] 0 & -2 & -m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Чтобы вычислить неизвестное по правилу Крамера, мы меняем второй столбец определителя A на столбец независимых членов и делим его на определитель A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 & -3 \\[1.1ex] 3 & 0 & -m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Следовательно, решение системы уравнений для случая m≠-4 имеет вид:

х=0 у=0 z=0

м=-4:

Теперь мы проанализируем систему, когда параметр m равен -4. В этом случае матрицы A и A’ имеют вид:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 & 0\end{array} \right)$

Как мы видели ранее, при m=-4 определитель A равен 0. Итак, матрица A не имеет ранга 3. Но внутри нее есть 2×2 определителя, отличных от 0, например:

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

Поскольку матрица имеет определитель порядка 2, отличный от 0, матрица A имеет ранг 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Зная ранг A, мы вычисляем ранг A’. Мы уже знаем, что определитель первых трех столбцов дает 0, поэтому пробуем другие возможные определители 3×3:

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0\end{vmatrix} = 0$

Все определители 3×3 матрицы A’ равны 0, поэтому матрица A’ также не будет иметь ранг 3. Однако внутри него есть определители порядка 2, отличного от 0. Например:

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

Таким образом, матрица A’ будет иметь ранг 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

Размер матрицы A равен размеру матрицы A’, но эти два меньше числа неизвестных в системе (3), поэтому, согласно теореме Руше-Фробениуса, c представляет собой неопределенную совместимую систему (ICS):

Это система ICS, поэтому нам необходимо преобразовать систему для ее решения. Устраним сначала одно уравнение, которое в данном случае будет последним:

$\begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x-2y+4z = 0} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0\end{cases}$

Теперь преобразуем переменную z в λ:

$\begin{cases}4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 4x-y+\lambda= 0 \\[1.5ex] x+y-3\lambda=0\end{cases}$

И члены с λ ставим с независимыми членами:

$\begin{cases} 4x-y=-\lambda \\[1.5ex] x+y=3\lambda \end{cases}$

Такого, что матрица A и матрица A’ системы остаются:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -1 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 1 & 3\lambda \end{array} \right)$

Наконец, преобразовав систему, мы применяем правило Крамера. Для этого сначала решим определитель А:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} = 4-(-1)=5$

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix}-\lambda & -1 \\[1.1ex] 3\lambda & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-\lambda-(-3\lambda)}{5} =\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 3\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12\lambda-(-\lambda)}{5}=\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}}$

Итак, при m=-4 решение системы уравнений является функцией λ, поскольку она является SCI и, следовательно, имеет бесконечные решения:

$\displaystyle \bm{x =}\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}\qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}} \qquad \bm{z=\lambda}$

Упражнение 2

Обсудите и найдите решение следующей системы линейных уравнений, зависящих от параметров:

выполнить пошаговое решение системы линейных уравнений с параметрами

посмотреть решение

Первое, что нужно сделать, это матрица A и расширенная матрица A’ системы:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}m & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & m & 3\end{array} \right)$

Теперь мы должны найти ранг матрицы А. Для этого проверяем, отличен ли определитель всей матрицы от 0:

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix} & =4m^2+4-4-4+4m-4m \\ & =4m^2-4 \end{aligned}$

$4m^2-4 = 0$

$4m^2=4$

$m^2 = \cfrac{4}{4}$

$m^2 = 1$

$m = \pm 1$

Итак, когда m равно +1 или -1, определитель A будет 0. А когда m отличается от +1 и -1, определитель A будет отличаться от 0. Поэтому мы должны проанализировать каждый случай следующим образом:

м≠+1 и м≠-1:

Как мы только что видели, когда параметр m отличается от +1 и -1, определитель матрицы A отличен от 0. Следовательно, ранг матрицы A равен 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

$\displaystyle rg(A')=3$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix}=4m^2-4$

Чтобы вычислить x по правилу Крамера, мы меняем первый столбец определителя A на столбец независимых членов и делим его на определитель A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2& 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & -2 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}}$

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}$

Чтобы вычислить z по правилу Крамера, мы заменим третий столбец определителя A на столбец независимых членов и разделим его на определитель A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}m & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

Следовательно, решение системы уравнений для случая m≠+1 и m≠-1 имеет вид:

$\displaystyle \bm{x = }\cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}\qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

м=+1:

Теперь мы будем анализировать систему, когда параметр m равен 1. В этом случае матрицы A и A’ имеют вид:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 & 3\end{array} \right)$

Как мы видели ранее, когда m=+1 определитель A равен 0. Таким образом, матрица A не имеет ранга 3. Но внутри нее есть 2×2 определителя, отличных от 0, например:

$\displaystyle \begin{vmatrix}2 & 4\\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

Поскольку матрица имеет определитель порядка 2, отличный от 0, матрица A имеет ранг 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Зная ранг A, мы вычисляем ранг A’. Мы уже знаем, что определитель первых 3-х столбцов дает 0, поэтому теперь попробуем, например, с определителем последних 3-х столбцов:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 16$

С другой стороны, матрица A’ содержит определитель 3×3, результат которого отличен от 0, так что матрица A’ имеет ранг 3:

$\displaystyle rg(A')=3$

Таким образом, когда m=+1, ранг матрицы A меньше ранга матрицы A’. Таким образом, из теоремы Руше-Фробениуса мы делаем вывод, что система является несовместимой системой (НС):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Следовательно, система уравнений не имеет решения при m=+1 , так как это несовместная система.

м=-1:

Теперь мы проанализируем систему, когда параметр m равен -1. В этом случае матрицы A и A’ имеют вид:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}-1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 & 3\end{array} \right)$

Как мы видели ранее, при m=-1 определитель A равен 0. Итак, матрица A не имеет ранга 3. Но внутри нее есть 2×2 определителя, отличных от 0, например:

$\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & 2\\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

Поскольку матрица имеет определитель порядка 2, отличный от 0, матрица A имеет ранг 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Зная ранг A, мы вычисляем ранг A’. Мы уже знаем, что определитель первых 3-х столбцов дает 0, поэтому теперь пробуем, например, с определителем 1, 3 и 4 столбцов:

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -1 & 3\end{vmatrix} = -20$

$\displaystyle rg(A')=3$

Таким образом, когда m = -1, ранг матрицы A ниже ранга матрицы A’. Таким образом, из теоремы Руше-Фробениуса мы делаем вывод, что система является несовместимой системой (НС):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Следовательно, система уравнений не имеет решения при m=-1 , так как это несовместная система.

Пример системы линейных уравнений с параметрами

Краткое изложение примера:

Решенные дискуссионные задачи систем линейных уравнений с параметрами

Упражнение 1

Упражнение 2

Оставьте комментарий Отменить ответ