Обсуждение систем уравнений методом Гаусса -

В этом разделе мы увидим , как обсуждать и решать систему уравнений методом Гаусса-Жордана . То есть определите, является ли это определенно совместимой системой (DCS), неопределенно совместимой системой (ICS) или несовместимой системой. Кроме того, вы найдете примеры и решенные упражнения, которые помогут вам идеально попрактиковаться и усвоить концепции.

Чтобы понять, что мы собираемся объяснить дальше, важно, чтобы вы уже знали, как решать систему с помощью метода Гаусса , поэтому мы рекомендуем вам взглянуть, прежде чем продолжить.

Совместимые системы, определяемые методом Гаусса

Пока последняя строка матрицы Гаусса равна

$\bm{(0 \ 0 \ n \ | \ m)}$

, быть

$n$

$m$

любые два числа, это SCD (определена совместимость системы). Следовательно, система имеет единственное решение .

Подавляющее большинство систем являются SCD.

Пример:

Например, у нас есть такая система:

$\left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 3x+8y+z=1\\[2ex] 6x+4y-z=-1 \end{array} \right\}$

Чья расширенная матрица:

$\left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 3x+8y+z=1\\[2ex] 6x+4y-z=-1 \end{array} \right\}} \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 3 & 8 & 1 & 1 \\[2ex] 6 & 4 & -1 & -1 \end{array} \right)$

Чтобы решить систему, нам нужно подействовать на строки матрицы и преобразовать все элементы ниже главной диагонали в 0. Итак, из второй строки мы вычитаем первую строку, а из третьей строки мы вычитаем первую строку, умноженную на 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 3 & 8 & 1 & 1 \\[2ex] 6 & 4 & -1 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -2f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 0 & 6 & 2 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array} \right)$

Как только все числа ниже главной диагонали равны 0, мы возвращаемся, чтобы преобразовать систему в форму уравнения:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 0 & 6 & 2 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 6y+2z=0\\[2ex] 1z=-3 \end{array} \right\}$

Значит эта система SCD , так как матрица сдвинута и последняя строка имеет тип

$(0 \ 0 \ n \ | \ m)$

. Поэтому решаем как всегда: исключая неизвестные из уравнений снизу вверх.

$1z=-3$

$z = \cfrac{-3}{1}$

$\bm{z=-3}$

Теперь, когда мы знаем z, мы подставляем его значение во второе уравнение, чтобы найти значение

$y$

$6y+2z=0\ \xrightarrow{z \ = \ -3} \ 6y+2(-3)=0$

$6y-6=0$

$6y=6$

$y=\cfrac{6}{6}$

$\bm{y=1}$

И, наконец, делаем то же самое с первым уравнением: подставляем значения остальных неизвестных и решаем

$x$

$3x+2y-z=1 \ \xrightarrow{y \ = \ 1 \ ; \ z \ = \ -3} \ 3x+2(1)-(-3)=1$

$3x+2+3=1$

$3x=1-2-3$

$3x=-4$

$x=\cfrac{-4}{3}$

$\bm{x= -}\cfrac{\bm{4}}{\bm{3}}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\bm{x= -}\cfrac{\bm{4}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=1} \qquad \bm{z=-3}$

Несовместимые системы по методу Гаусса

Когда в матрице Гаусса у нас есть строка с тремя нулями подряд и числом

$\bm{(0 \ 0 \ 0 \ | \ n)}$

, это ИС (Несовместимая Система), и, следовательно, система не имеет решения .

Пример:

Например, представьте, что после работы с матрицей Гаусса системы у нас осталось:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & -1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

Поскольку последняя строка

$(0 \ 0 \ 0 \ | \ 2)$

, то есть три нуля, за которыми следует число в конце, является ЕСЛИ (несовместимая система), и, следовательно, система не имеет решения .

Хоть это и не обязательно знать, ниже вы увидите, почему у нее нет решения.

Если мы возьмем последнюю строку, мы получим следующее уравнение:

$(0 \ 0 \ 0 \ | \ 2) \ \longrightarrow \ 0z = 2$

Это уравнение никогда не будет выполнено, потому что какое бы значение ни приняло z , умножение его на 0 никогда не даст 2 (любое число, умноженное на 0, всегда дает 0). А поскольку это уравнение никогда не будет выполняться, система не имеет решения.

Совместимые системы, не определенные методом Гаусса

Всякий раз, когда строка матрицы Гаусса заполняется значением 0

$\bm{(0 \ 0 \ 0 \ | \ 0)}$

, это SCI (неопределенная совместимая система), и, следовательно, система имеет бесконечные решения .

Давайте посмотрим пример решения ICS:

Пример:

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y-1z=-2 \\[2ex] 3x+4y+z=4 \end{array} \right\}$

Как всегда, сначала делаем расширенную матрицу системы :

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y-1z=-2 \\[2ex] 3x+4y+z=4 \end{array} \right\} \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & -1 & -2 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right)$

Теперь мы хотим, чтобы все числа ниже главной диагонали были равны 0. Итак, ко второй строке добавляем первую строку, умноженную на -2:

$\begin{array}{lrrr|r} &2 & 3 & -1 & -2 \\ + & -2 & -2 & -4 & -12 \\ \hline & 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -2f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & -1 & -2 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -2f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right)$

Чтобы преобразовать 3 в 0, в третьей строке добавляем первую строку, умноженную на -3:

$\begin{array}{lrrr|r} & 3 & 4 & 1 & 4 \\ + & -3 & -3 & -6 & -18 \\ \hline & 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -3f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -3f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right)$

Чтобы преобразовать 1 в последней строке в 0, в третьей строке мы добавляем вторую строку, умноженную на -1:

$\begin{array}{lrrr|r} & 0 & 1 & -5 & -14 \\ + & 0 & -1 & 5 & 14 \\ \hline & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -1f_2} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -1f_2} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Поскольку в последней строке все 0 , мы можем удалить ее:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right)$

А поскольку у нас вся строка заполнена нулями, это SCI.

Таким образом, мы получаем следующую систему:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] y-5z=-14 \end{array} \right\}$

Когда система является SCI, необходимо взять значение параметра из неизвестного

$\lambda$

. И нам нужно решить систему по этому параметру

$\bm{\lambda}$

Поэтому мы присваиваем значение

$\lambda$

до Я :

$z = \lambda$

Хотя мы могли бы также выбрать любое другое неизвестное в качестве значения

$\lambda$

Теперь мы выделим y из второго уравнения и позволим ему быть функцией

$\lambda$

$y-5z=-14 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \ y-5(\lambda )= -14$

$y-5\lambda=-14$

$y =-14+ 5\lambda$

И, наконец, мы удаляем x из первого уравнения и также оставляем его как функцию

$\lambda$

$x+y+2z=6 \ \xrightarrow{ y \ = \ -14 + 5\lambda \ ; \ z \ = \ \lambda } \ x+ (-14+ 5\lambda )+2(\lambda ) = 6$

$x-14 +5\lambda +2\lambda = 6$

$x=14- 5\lambda -2\lambda + 6$

$x=20- 7\lambda$

Таким образом, системные решения:

$\bm{z = \lambda} \qquad \bm{y =-14+ 5\lambda } \qquad \bm{x=20 - 7\lambda}$

Как видите, в системе SCI мы оставляем решения в зависимости от параметра

$\lambda$

. И помните, что она имеет бесконечные решения, потому что в зависимости от значения, которое она принимает

$\lambda$

, решение будет одно или другое.

Прежде чем перейти к решаемым упражнениям, следует знать, что хотя в этой статье мы используем метод Гаусса, другим способом обсуждения и решения систем линейных уравнений является теорема Руша . На самом деле, его, вероятно, используют больше.

Решенные упражнения по обсуждению систем уравнений методом Гаусса-Жордана.

Упражнение 1

Определите, о каком типе системы идет речь, и решите следующую систему уравнений, используя метод Гаусса:

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y+5z=8 \\[2ex] 3x+3y+6z=9 \end{array} \right\}$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это расширенную матрицу системы:

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y+5z=8 \\[2ex] 3x+3y+6z=9 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & 5 & 8 \\[2ex] 3 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right)$

Теперь нам нужно сделать все числа ниже основного массива равными 0.

Поэтому мы выполняем операции со строками, чтобы отменить два последних члена первого столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & 5 & 8 \\[2ex]3 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 3f_1}& \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & -4 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & -9 \end{array} \right)$

Мы получили строку матрицы, состоящую из трех нулей, за которыми следует число. Следовательно, это IS (несовместимая система), и система не имеет решения.

Упражнение 2

Определите, что это за система, и найдите решение следующей системы уравнений с помощью метода Гаусса:

$\left. \begin{array}{r} x-2y+3z=1 \\[2ex] -2x+5y-z=5 \\[2ex] -x+3y+2z=6 \end{array} \right\}$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это расширенную матрицу системы:

$\left. \begin{array}{r} x-2y+3z=1 \\[2ex] -2x+5y-z=5 \\[2ex] -x+3y+2z=6 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] -2 & 5 & -1 & 5 \\[2ex] -1 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right)$

Теперь нам нужно сделать все числа ниже основного массива равными 0.

Поэтому мы выполняем операции со строками, чтобы отменить два последних члена первого столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] -2 & 5 & -1 & 5 \\[2ex] -1 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 + f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right)$

Теперь попробуем удалить последний элемент из второго столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Но мы получаем целый ряд нулей. Итак, это SCI , и система имеет бесконечно много решений.

Но поскольку это ИСУ, мы можем решить систему на основе

$\lambda$

. Поэтому мы удаляем строку 0:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right)$

Теперь выразим матрицу в виде системы уравнений с неизвестными:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x-2y+3z=1 \\[2ex] 1y+5z=7 \end{array} \right\}$

Мы даем значение

$\lambda$

Для

$z :$

$\bm{z = \lambda}$

Заменяем значение

$z$

во втором уравнении найти значение

$y :$

$1y+5z=7 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \ 1y+5(\lambda )=7$

$y+5\lambda =7$

$\bm{y=7-5\lambda}$

И то же самое делаем с первым уравнением: подставляем значения остальных неизвестных и стираем

$x :$

$1x-2y+3z=1 \ \xrightarrow{y \ = \ 7-5\lambda \ ; \ z \ = \ \lambda} \ 1x-2(7-5\lambda )+3(\lambda )=1$

$x-14+10\lambda+3\lambda=1$

$x=1+14-10\lambda-3\lambda$

$\bm{x=15-13\lambda}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\bm{x=15-13\lambda} \qquad \bm{y=7-5\lambda} \qquad \bm{z = \lambda}$

Упражнение 3

Найдите, что это за система, и решите следующую систему уравнений методом Гаусса:

$\left. \begin{array}{r} 4x-4y+z=-4 \\[2ex] x+3y+z=2 \\[2ex] x+5y+2z=6 \end{array} \right\}$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это расширенную матрицу системы:

$\left. \begin{array}{r} 4x-4y+z=-4 \\[2ex] x+3y+z=2 \\[2ex] x+5y+2z=6\end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right)$

Применить метод Гаусса проще, если первое число в первой строке равно 1. Поэтому мы изменим порядок строк 1 и 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 \rightarrow f_2} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 \rightarrow f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right)$

Теперь нам нужно сделать все числа ниже основного массива равными 0.

Поэтому мы выполняем операции со строками, чтобы отменить два последних члена первого столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 4f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right)$

Теперь преобразуем последний элемент второго столбца в ноль:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{8f_3 + f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 0 & 5 & 20 \end{array} \right)$

Эта система является SCD , так как нам удалось сдвинуть матрицу и последняя строка имеет тип

$(0 \ 0 \ n \ | \ m)$

. Следовательно, оно будет иметь единственное решение.

Когда все числа ниже главной диагонали равны 0, мы можем решить систему уравнений. Для этого еще раз выразим матрицу в виде системы уравнений с неизвестными:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 0 & 5 & 20 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+3y+1z=2 \\[2ex] -16y-3z=-12 \\[2ex] 5z=20 \end{array} \right\}$

И решаем неизвестные уравнения снизу вверх. Сначала решим последнее уравнение:

$5z=20$

$\bm{z}=\cfrac{20}{5} = \bm{4}$

Теперь подставим значение z во второе уравнение, чтобы найти значение y:

$-16y-3z=-12 \ \xrightarrow{z \ = \ 4} \ -16y-3(4)=-12$

$-16y-12=-12$

$-16y=-12+12$

$-16y=0$

$\bm{y}=\cfrac{0}{-16}= \bm{0}$

И то же самое делаем с первым уравнением: подставляем значения остальных неизвестных и находим x:

$x+3y+1z=2 \ \xrightarrow{y \ = \ 0 \ ; \ z \ = \ 4} \ x+3(0)+1(4)=2$

$x+0+4=2$

$x=2-4$

$\bm{x=-2}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\bm{x=-2} \qquad \bm{y=0} \qquad \bm{z=4}$

Упражнение 4

Определите, к какому типу относится система, и решите методом Гаусса следующую систему уравнений:

$\left. \begin{array}{r} x-y+4z=2 \\[2ex] -3x-3y+3z=7 \\[2ex] -2x-4y+7z=9 \end{array} \right\}$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это расширенную матрицу системы:

$\left. \begin{array}{r} x-y+4z=2 \\[2ex] -3x-3y+3z=7 \\[2ex] -2x-4y+7z=9 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] -3 & -3 & 3 & 7 \\[2ex] -2 & -4 & 7 & 9\end{array} \right)$

Теперь нам нужно сделать все числа ниже основного массива равными 0.

Поэтому мы выполняем операции со строками, чтобы отменить два последних члена первого столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] -3 & -3 & 3 & 7 \\[2ex] -2 & -4 & 7 & 9\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 3f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 + 2f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\end{array} \right)$

Теперь попробуем удалить последний элемент из второго столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -1f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Но мы получаем целый ряд нулей. Итак, это SCI , и система имеет бесконечно много решений.

Но поскольку это ИСУ, мы можем решить систему на основе

$\lambda$

. Поэтому мы удаляем строку 0:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13 \end{array} \right)$

Теперь выразим матрицу в виде системы уравнений с неизвестными:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x-1y+4z=2 \\[2ex] -6y+15z=13 \end{array} \right\}$