Как вычислить обратную матрицу -

На этой странице вы узнаете, что это такое и как вычислять обратную матрицу методом определителей (или сопряженной матрицы) и методом Гаусса. Вы также увидите все свойства обратной матрицы, а также найдете пошагово решаемые примеры и упражнения для каждого метода, чтобы полностью их понять. Наконец, мы объясним формулу быстрого обращения матрицы 2×2 и даже самую большую полезность этой матричной операции: решение системы линейных уравнений.

Что такое обратная матрица?

Быть

$A$

квадратная матрица. Обратная матрица

$A$

это написано

$A^{-1}$

, и именно эта матрица удовлетворяет:

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

Золото

$I$

это матрица идентичности.

Когда можно инвертировать матрицу, а когда нельзя?

Самый простой способ определить обратимость матрицы — использовать ее определитель:

Если определитель рассматриваемой матрицы отличен от 0, это означает, что матрица обратима. В этом случае мы говорим, что это регулярная матрица. Кроме того, это означает, что матрица имеет максимальный ранг.

С другой стороны, если определитель матрицы равен 0, матрицу нельзя инвертировать. И в этом случае мы говорим, что это сингулярная или вырожденная матрица.

В основном существует два метода обращения любой матрицы: метод определителей или присоединенной матрицы и метод Гаусса. Ниже вы найдете объяснение первого, но вы также можете проконсультироваться ниже, как инвертировать матрицу с помощью метода Гаусса.

Инвертируйте матрицу, используя метод определителя (или используя соседнюю матрицу)

Чтобы вычислить обратную матрицу ,

$\displaystyle A^{-1}$

, необходимо применить следующую формулу:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Золото:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

является определителем матрицы

$A$
$\text{Adj}(A)$

является присоединенной матрицей

$A$
Экспонент
$\bm{t}$

указывает на транспонирование матрицы, т.е. присоединенная матрица должна быть транспонирована.

Комментарий: В некоторых книгах используется немного другая формула обратной матрицы: сначала транспонируется матрица A, а затем вычисляется ее сопряженная матрица, вместо того, чтобы сначала вычислять сопряженную матрицу, а затем транспонировать ее. На самом деле порядок не имеет значения, поскольку результат будет точно таким же. Здесь мы оставляем вам формулу для инвертирования модифицированной матрицы на случай, если вы предпочитаете использовать ее:

формула обратной матрицы с присоединенной матрицей транспонирования

Затем мы увидим , как найти обратную матрицу , решив в качестве примера упражнение:

Пример вычисления обратной матрицы методом определителя (или присоединенной матрицы):

Вычислите обратную матрицу:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

Для определения обратной матрицы необходимо применить следующую формулу:

Но если определитель матрицы равен нулю, это означает, что матрица необратима. Поэтому первое, что нужно сделать, это вычислить определитель матрицы и проверить, что он отличен от 0:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

Определитель не равен 0 , поэтому матрица обратима .

Следовательно, подставив в формулу значение определителя, обратная матрица будет равна:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Теперь мы должны вычислить заместительную матрицу A. Для этого мы должны заменить каждый элемент матрицы A его заместителем.

Помните, что для расчета вложения

$a_{ij}$

, то есть элемента строки

$i$

и столбец

$j$

, необходимо применить следующую формулу:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Если дополнительный минор

$a_{ij}$

– определитель матрицы, исключающий строку

$i$

и столбец

$j$

Таким образом, заместителями элементов матрицы А являются:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Комментарий: Не путайте определитель 1×1 с абсолютным значением, поскольку в определителе 1×1 число не преобразуется в положительное.

После расчета заместителей просто замените элементы A их заместителями, чтобы найти матрицу заместителей A :

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

Комментарий: в некоторых местах сопряженная матрица является транспонированием сопряженной матрицы, которую мы здесь определяем.

Поэтому мы подставляем присоединенную матрицу в формулу обратной матрицы, и она становится такой:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

Экспонент

$\bm{t}$

Это говорит нам о том, что нам нужно транспонировать матрицу . И чтобы транспонировать матрицу, вам нужно преобразовать ее строки в столбцы , то есть первая строка матрицы становится первым столбцом матрицы, а вторая строка становится вторым столбцом:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

И, наконец, мы умножаем каждый член матрицы на

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

решить обратную матрицу с помощью определителей 2x2

Решаемые упражнения на обратные матрицы методом определителей (или присоединенной матрицы)

Упражнение 1

Инвертируйте следующую матрицу размерности 2×2, используя метод сопряженной матрицы:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

Посмотреть решение

Формула обратной матрицы:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Сначала вычислим определитель матрицы:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

Определитель отличен от 0, поэтому матрицу можно инвертировать.

Теперь вычислим сопряженную матрицу A:

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

После того как определитель матрицы и сопряженный к ней вычислены, подставляем их значения в формулу:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Транспонируем прикрепленную матрицу:

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

Таким образом, обратная матрица A равна:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Упражнение 2

Инвертируйте следующую квадратную матрицу, используя метод определителя:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

Посмотреть решение

Формула обратной матрицы:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Сначала вычислим определитель матрицы:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

Определитель отличен от 0, поэтому матрицу можно инвертировать.

Теперь вычислим сопряженную матрицу A:

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

После того как определитель матрицы и сопряженный к ней найден, подставляем их значения в формулу:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Транспонируем прикрепленную матрицу:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

Умножаем каждый элемент на

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

Таким образом, обратная матрица A равна:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

Упражнение 3

Инвертируйте следующую матрицу размером 3×3, используя метод сопряженной матрицы:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

Посмотреть решение

Формула обратной матрицы:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Сначала решаем определитель матрицы по правилу Сарруса:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

Определитель отличен от 0, поэтому матрицу можно инвертировать.

Решив определитель, находим сопряженную матрицу A:

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

После того как мы вычислили определитель матрицы и сопряженный к ней, подставляем их значения в формулу:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Транспонируем прикрепленную матрицу:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

И инвертированная матрица A:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

Упражнение 4

Инвертируйте следующую матрицу порядка 3, используя метод сопряженной матрицы:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

Посмотреть решение

Формула обратной матрицы:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Сначала нам нужно вычислить определитель матрицы, потому что, если определитель равен 0, это означает, что матрица не имеет обратной.

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

Определитель A равен 0, поэтому матрицу нельзя инвертировать.

Упражнение 5

Инвертируйте следующую квадратную матрицу 3 × 3 методом определительной матрицы:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

Посмотреть решение

Формула обратной матрицы:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Прежде всего решаем определитель матрицы по правилу Саррюса:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

Определитель отличен от 0, поэтому матрицу можно инвертировать.

Решив определитель, находим сопряженную матрицу A:

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

После того как мы вычислили определитель матрицы и сопряженный к ней, подставляем их значения в формулу:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Транспонируем прикрепленную матрицу:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

И наконец, мы работаем:

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

упражнение решается пошагово обратной матрицы методом сопряженной матрицы 3х3

Инвертируйте матрицу с помощью метода Гаусса:

Чтобы вычислить обратную матрицу методом Гаусса , необходимо выполнить операции над строками матрицы (это мы увидим позже). Поэтому, прежде чем узнать, как использовать метод Гаусса, важно знать все операции, которые можно выполнять со строками матриц:

Преобразования линий, разрешенные в методе Гаусса

Измените порядок строк матрицы.

Например, мы можем изменить порядок строк 2 и 3 матрицы:

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

Умножьте или разделите все члены подряд на число, отличное от 0.

Например, мы можем умножить строку 1 на 4 и разделить строку 3 на 2:

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

Замените строку суммой той же строки плюс другой строки, умноженной на число.

Например, в следующей матрице мы добавляем строку 3, умноженную на 1, к строке 2:

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

Пример расчета обратной матрицы методом Гаусса:

Давайте посмотрим на примере, как применить метод Гаусса для инвертирования матрицы:

Вычислите обратную матрицу:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

Первое, что нам нужно сделать, это объединить матрицу A и матрицу Identity в одну матрицу . Матрица A слева и матрица идентичности справа:

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

упражнение, решаемое пошагово обратной матрицы методом Гаусса 3x3

Чтобы вычислить обратную матрицу, нам нужно преобразовать левую матрицу в единичную матрицу. И для этого нам нужно применять преобразования к строкам, пока мы не доберемся до нужного результата.

Мы будем действовать по столбцам, то есть будем выполнять операции над строками, чтобы сначала преобразовать числа в первом столбце, затем во втором столбце и, наконец, в третьем столбце.

1 и 0 в первом столбце уже подходят, поскольку единичная матрица также имеет 1 и 0 на этих позициях. Поэтому на данный момент нет необходимости применять преобразование к этим строкам.

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Однако единичная матрица имеет 0 в последнем элементе первого столбца, где теперь у нас есть 1. Поэтому нам нужно преобразовать 1 в 0. Для этого мы добавляем строку 1, умноженную на –, к строке 3.1:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Итак, если мы сделаем эту сумму, мы получим следующую матрицу:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Таким образом, нам удалось превратить 1 в 0.

Теперь перейдем ко второму столбцу левой матрицы. Первый элемент — это 0, и это хорошо, поскольку единичная матрица имеет 0 в той же позиции. Однако вместо 2 должна быть 1, поэтому делим вторую строку на 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Кроме того, во втором столбце нам также нужно превратить 5 в 0. Ну, поскольку 5 в пять раз больше, чем 1 во второй строке, мы добавим строку 2, умноженную на -5, к строке 3:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Следовательно, выполнив эту операцию, мы получим матрицу с 0 в последнем элементе второго столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

Наконец, мы преобразуем последний столбец матрицы влево, но на этот раз мы должны начать снизу. Поэтому необходимо преобразовать

$\sfrac{1}{2}$

в 1. Поэтому умножаем последнюю строку на 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Теперь мы должны преобразовать

$\sfrac{1}{2}$

оставшаяся часть последнего столбца равна 0. Однако на этот раз мы не можем умножить строку на 2, потому что мы также преобразуем 1 в 2 (когда единичная матрица имеет 1 в этой позиции). Поэтому к строке 2 добавим строку 3, разделенную на -2:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Итак, проделав эту операцию, нам удалось преобразовать

$\sfrac{1}{2}$

в 0:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Наконец, нам просто нужно преобразовать 1 в первой строке третьего столбца в 0. В третьей строке также есть 1 в том же столбце, поэтому мы добавим строку 3, умноженную на -1, к строке 1:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

И выполнив эту операцию, нам удалось преобразовать 1 в 0:

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

После того как мы успешно преобразовали левую матрицу в единичную матрицу, мы также знаем обратную матрицу. Потому что обратная матрица — это матрица, которую мы получаем в правой части, преобразуя левую матрицу в единичную матрицу . Таким образом, обратная матрица равна: