Гауссовский метод – Джордан

На этой странице вы узнаете, что такое метод Гаусса-Жордана и как решить систему уравнений с помощью метода Гаусса. Кроме того, вы также найдете примеры и решенные упражнения для систем с помощью метода Гаусса, чтобы вы могли в совершенстве попрактиковаться и понять его.

Что такое метод Гаусса?

Метод Гаусса-Жордана — это процедура, используемая для решения систем уравнений с тремя неизвестными, то есть следующим образом:

$\left. \begin{array}{r} 3x-4y+5z=10 \\[2ex] x+5y-2z=4 \\[2ex] -x+4y+2z=-1 \end{array} \right\}$

Целью метода Гаусса является преобразование исходной системы уравнений в ступенчатую систему , то есть систему, в которой каждое уравнение имеет на одно неизвестное меньше, чем предыдущее:

$\left. \begin{array}{r} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\[2ex] a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\[2ex] a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \left. \begin{array}{r} A_1x+B_1y+C_1z=D_1 \\[2ex] B_2y+C_2z=D_2 \\[2ex] C_3z=D_3 \end{array} \right\}$

Однако для этого необходимо сначала знать, как выразить систему уравнений в матричной форме и какие преобразования разрешены в этой матрице. Итак, мы объясним эти две вещи раньше, а затем увидим, как использовать процедуру метода Гаусса .

Системно-расширенная матрица

Прежде чем увидеть, как решается система, вы должны знать, что систему уравнений можно выразить в виде матрицы: коэффициенты

$x}$

в первом столбце помещаются коэффициенты

$y}$

во втором столбце коэффициенты

$z$

в третьем столбце и числа без неизвестных в четвертом столбце.

Например:

Разрешенные преобразования строк

Чтобы преобразовать систему уравнений в масштабированную систему, над матрицей, связанной с системой, можно выполнить одну из следующих операций:

Измените порядок строк в матрице.

Например, мы можем изменить порядок строк 2 и 3 матрицы:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & -2 & 1 \\[2ex] -2 & 4 & -1 & 2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 & 10 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & -2 & 1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 & 10 \\[2ex] -2 & 4 & -1 & 2 \end{array} \right)$

Умножьте или разделите все члены подряд на число, отличное от 0.

Например, мы можем умножить строку 1 на 4 и разделить строку 3 на 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 3 & -1 & 5 & -3 \\[2ex] 2 & -4 & -2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -8 & 12 & 4 \\[2ex] 3 & -1 & 5 & -3 \\[2ex] 1 & -2 & -1 & 3 \end{array} \right)$

Замените строку суммой той же строки плюс другой строки, умноженной на число.

Например, в следующей матрице мы добавляем строку 2 к строке 3, умноженную на 1:

$\left( \begin{array}{ccc|c} -1 & -3 & 4 & 1 \\[2ex] 2 & 4 & 1 & -5 \\[2ex] 1 & -2 & 3 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1 \cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & -3 & 4 & 1 \\[2ex] 3 & 2 & 4 & -6 \\[2ex] 1 & -2 & 3 & -1 \end{array} \right)$

Как решить систему уравнений методом Гаусса?

Рассмотрим теперь на примере процедуру решения системы уравнений методом Гаусса:

$\left. \begin{array}{r} -x+2y+2z=-24 \\[2ex] x+y+z=48 \\[2ex] 2x-6y+4z=12 \end{array} \right\}$

Первое, что нужно сделать, это расширенная матрица системы :

Пример системы уравнений, решенной методом Гаусса

Как мы увидим позже, лучше, чтобы первая цифра первой строки была 1. Поэтому мы изменим порядок строк 1 и 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 2 &-24 \\[2ex] 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{ f_1 \rightarrow f_2} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 1 & 1 & 48 \\[2ex] -1 & 2 & 2 &-24 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right)$

Цель метода Гаусса — сделать числа ниже главной диагонали равными 0 . То есть нам нужно преобразовать красные цифры в 0:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] \color{red}\bm{-1} & 2 & 2 &-24 \\[2ex] \color{red}\bm{2} & \color{red}\bm{-6} & 4 & 12 \end{array} \right)$

Чтобы исключить эти числа, нам необходимо выполнить соответствующие преобразования строк.

Например, -1, который является первым элементом второй строки, является отрицательным значением 1, первого элемента первой строки. Следовательно, если мы добавим первую строку ко второй строке, -1 будет исключено:

$\begin{array}{lccc|c} & -1 & 2 & 2 & -24 \\ + & \phantom{-}1 & 1 & 1 & \phantom{-}48 \\ \hline & \phantom{-}0 & 3 & 3 & \phantom{-}24 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Итак, если мы сделаем эту сумму, мы получим следующую матрицу:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] -1 & 2 & 2 & -24 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right)$

Таким образом нам удалось преобразовать -1 в 0.

Теперь мы собираемся преобразовать цифру 2. Если вы заметили, цифра 2, которая является первым элементом в третьей строке, в два раза больше 1, первого элемента в первой строке. Следовательно, если мы добавим первую строку, умноженную на -2, к третьей строке, 2 будет исключено:

$\begin{array}{lccc|c} & \phantom{-}2 & -6 & \phantom{-}4 & \phantom{-}12 \\ + & -2 & -2 & -2 & -96 \\ \hline & \phantom{-}0 & -8 & \phantom{-}2 & -84 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue} \bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue} \bm{\leftarrow -2 f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Таким образом, мы получаем следующую матрицу:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 2 & -6 & 4 & 12 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3-2f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & -8 & 2 & -84 \end{array} \right)$

Таким образом нам удалось превратить 2 в 0.

Все, что нам нужно сделать сейчас, это преобразовать -8 в 0. Для этого мы умножаем третью строку на 3 и добавляем вторую строку, умноженную на 8:

$\begin{array}{lccc|r} & 0 & -24 & \phantom{2}6 & -252 \\ + & 0 & \phantom{-}24 & 24 & \phantom{-}192 \\ \hline & 0 & \phantom{-2}0 & 30 & -60 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{ \leftarrow 3f_3} \\\color{blue}\bm{ \leftarrow 8f_2} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Таким образом, мы получаем следующую матрицу:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 0 & -8 & 2 & -84 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{3f_3 + 8f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 30 & -60 \end{array} \right)$

И с помощью этих преобразований мы получили, что все числа ниже главной диагонали равны 0. Итак, теперь мы можем решить систему уравнений.

Теперь нам необходимо преобразовать матрицу в систему уравнений с неизвестными . Для этого помните, что первый столбец соответствует

$x$

, второй столбец

$y$

, третий столбец

$z$

и последний столбец — числа без неизвестных:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 48 \\[2ex] 0 & 3 & 3 & 24 \\[2ex] 0 & 0 & 30 & -60 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x+1y+1z=48 \\[2ex] 3y+3z=24 \\[2ex] 30z=-60 \end{array} \right\}$

И, наконец, для решения системы нам необходимо решить неизвестные уравнений снизу вверх. Поскольку последнее уравнение имеет только одно неизвестное, мы можем его решить и найти его значение:

$30z=-60$

$z = \cfrac{-60}{30}$

$\bm{z=-2}$

Теперь, когда мы знаем, что такое z, если подставить его значение во второе уравнение, мы сможем найти значение

$y$

$3y+3z=24 \ \xrightarrow{z \ = \ -2} \ 3y+3(-2)=24$

$3y-6=24$

$3y=24+6$

$3y=30$

$y=\cfrac{30}{3}$

$\bm{y=10}$

И то же самое делаем с первым уравнением: подставляем значения остальных неизвестных и стираем

$x$

$1x+1y+1z=48 \ \xrightarrow{y \ = \ 10 \ ; \ z \ = \ -2} \ 1x+1(10)+1(-2)=48$

$x+10-2=48$

$x=48-10+2$

$\bm{x=40}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\bm{x=40} \quad \bm{y=10} \quad \bm{z=-2}$

Решаемые задачи систем уравнений методом Гаусса-Жордана

Упражнение 1

Решите следующую систему уравнений методом Гаусса:

$\left. \begin{array}{r} x+y-z=2 \\[2ex] x-2y+3z=0 \\[2ex] 2x-y+3z=3 \end{array} \right\}$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это расширенную матрицу системы:

$\left. \begin{array}{r} x+y-z=2 \\[2ex] x-2y+3z=0 \\[2ex] 2x-y+3z=3 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\[2ex] 1 & -2 & 3 & 0 \\[2ex] 2 & -1 & 3 & 3 \end{array} \right)$

Теперь нам нужно сделать все числа ниже основного массива равными 0.

Поэтому мы выполняем операции со строками, чтобы отменить два последних члена первого столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -1 & 2 \\[2ex] 1 & -2 & 3 & 0 \\[2ex] 2 & -1 & 3 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3-2f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\[2ex] 0 & -3 & 4 & -2 \\[2ex] 0 & -3 & 5 & -1 \end{array} \right)$

Теперь удалим последний элемент из второго столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -1 & 2 \\[2ex] 0 & -3 & 4 & -2 \\[2ex] 0 & -3 & 5 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3-f_2} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\[2ex] 0 & -3 & 4 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$

Когда все числа ниже главной диагонали равны 0, мы можем решить систему уравнений. Для этого еще раз выразим матрицу в виде системы уравнений с неизвестными:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\[2ex] 0 & -3 & 4 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+y-z=2 \\[2ex] -3y+4z=-2 \\[2ex] 1z=1 \end{array} \right\}$

И решаем неизвестные уравнения снизу вверх. Сначала решим последнее уравнение:

$1z= 1$

$z=\bm{1}$

Теперь подставим значение z во второе уравнение, чтобы найти значение y:

$-3y+4z=-2 \ \xrightarrow{z \ = \ 1} \ -3y+4(1)=-2$

$-3y+4=-2$

$-3y=-2-4$

$-3y=-6$

$y=\cfrac{-6}{-3} = \bm{2}$

И то же самое делаем с первым уравнением: подставляем значения остальных неизвестных и находим x:

$x+y-z=2 \ \xrightarrow{y \ = \ 2 \ ; \ z \ = \ 1} \ x+(2)-(1)=2$

$x+1=2$

$x=2-1$

$\bm{x=1}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\bm{x=1} \qquad \bm{y=2} \qquad \bm{z=1}$

Упражнение 2

Найдите решение следующей системы уравнений, используя метод Гаусса:

$\left. \begin{array}{r} 2x+y+2z=-3 \\[2ex] x+3y+2z=5 \\[2ex] 4x+2y-z=-1 \end{array} \right\}$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это расширенную матрицу системы:

$\left. \begin{array}{r} 2x+y+2z=-3 \\[2ex] x+3y+2z=5 \\[2ex] 4x+2y-z=-1 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 2 & -3 \\[2ex] 1 & 3 & 2 & 5 \\[2ex] 4 & 2 & -1 & -1 \end{array} \right)$

Применить метод Гаусса проще, если первое число в первой строке равно 1. Поэтому мы изменим порядок строк 1 и 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c}2 & 1 & 2 & -3 \\[2ex] 1 & 3 & 2 & 5 \\[2ex] 4 & 2 & -1 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1\rightarrow f_2} \\[2ex] \xrightarrow{f_2\rightarrow f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 2 & 5 \\[2ex] 2 & 1 & 2 & -3 \\[2ex] 4 & 2 & -1 & -1\end{array} \right)$

Теперь нам нужно сделать все числа ниже основного массива равными 0.

Итак, мы выполняем операции со строками, чтобы заменить два последних элемента первого столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 5 \\[2ex] 2 & 1 & 2 & -3 \\[2ex] 4 & 2 & -1 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3-4f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 5 \\[2ex] 0 & -5 & -2 & -13 \\[2ex] 0 & -10 & -9 & -21 \end{array} \right)$

Теперь преобразуем последний элемент второго столбца в ноль:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 2 & 5 \\[2ex] 0 & -5 & -2 & -13 \\[2ex] 0 & -10 & -9 & -21\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3-2f_2} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 5 \\[2ex] 0 & -5 & -2 & -13 \\[2ex] 0 & 0 & -5 & 5 \end{array} \right)$

Как только все числа ниже главной диагонали равны 0, мы можем решить систему уравнений. Для этого еще раз выразим матрицу в виде системы уравнений с неизвестными:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 5 \\[2ex] 0 & -5 & -2 & -13 \\[2ex] 0 & 0 & -5 & 5 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+3y+2z=5 \\[2ex] -5y-2z=-13 \\[2ex] -5z=5 \end{array} \right\}$

И решаем неизвестные уравнения снизу вверх. Сначала решим последнее уравнение:

$-5z= 5$

$z=\cfrac{5}{-5}=\bm{-1}$

Теперь подставим значение z во второе уравнение, чтобы найти значение y:

$-5y-2z=-13 \ \xrightarrow{z \ = \ -1} \ -5y-2(-1)=-13$

$-5y+2=-13$

$-5y=-13-2$

$-5y=-15$

$y=\cfrac{-15}{-5} = \bm{3}$

И то же самое делаем с первым уравнением: подставляем значения остальных неизвестных и находим x:

$x+3y+2z=5 \ \xrightarrow{y \ = \ 3 \ ; \ z \ = \ -1} \ x+3(3)+2(-1)=5$

$x+9-2=5$

$x=5-9+2$

$\bm{x=-2}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\bm{x=-2} \qquad \bm{y=3} \qquad \bm{z=-1}$

Упражнение 3

Рассчитаем решение следующей системы уравнений методом Гаусса:

$\left. \begin{array}{r} 2x+3y+z=-1 \\[2ex] 6x+4y+4z=0 \\[2ex] -4x+2y-z=5 \end{array} \right\}$

посмотреть решение

Первое, что нам нужно сделать, это расширенную матрицу системы:

$\left. \begin{array}{r} 2x+3y+z=-1 \\[2ex] 6x+4y+4z=0 \\[2ex] -4x+2y-z=5\end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 6 & 4 & 4 & 0 \\[2ex] -4 & 2 & -1 & 5 \end{array} \right)$

Теперь нам нужно сделать все числа в родительском массиве равными 0.

Итак, мы выполняем операции со строками, чтобы заменить два последних элемента первого столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 6 & 4 & 4 & 0 \\[2ex] -4 & 2 & -1 & 5\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -3f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3+2f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & -5 & 1 & 3 \\[2ex] 0 & 8 & 1 & 3\end{array} \right)$

Теперь преобразуем последний элемент второго столбца в ноль:

$\left( \begin{array}{ccc|c}2 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & -5 & 1 & 3 \\[2ex] 0 & 8 & 1 & 3\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{5f_3+8f_2} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & -5 & 1 & 3 \\[2ex] 0 & 0 & 13 & 39 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & -5 & 1 & 3 \\[2ex] 0 & 0 & 13 & 39\end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 2x+3y+1z=-1 \\[2ex] -5y+z=3 \\[2ex] 13z=39 \end{array} \right\}$

И решаем неизвестные уравнения снизу вверх. Сначала решим последнее уравнение:

$13z= 39$

$z=\cfrac{39}{13}=\bm{3}$

Теперь подставим значение z во второе уравнение, чтобы найти значение y:

$-5y+z=3 \ \xrightarrow{z \ = \ 3} \ -5y+(3)=3$

$-5y=3-3$

$-5y=0$

$y=\cfrac{0}{-5} = \bm{0}$

И то же самое делаем с первым уравнением: подставляем значения остальных неизвестных и находим x:

$2x+3y+1z=-1 \ \xrightarrow{y \ = \ 0 \ ; \ z \ = \ 3} \ 2x+3(0)+1(3)=-1$

$2x+0+3=-1$

$2x=-1-3$

$2x=-4$

$x=\cfrac{-4}{2}=\bm{-2}$

Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:

$\bm{x=-2} \qquad \bm{y=0} \qquad \bm{z=3}$

Упражнение 4

Решите следующую систему уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса:

$\left. \begin{array}{r} 2x-6=4y+6z \\[2ex] -y-3z=1-3x \\[2ex] -4x-y=6-3z \end{array} \right\}$

посмотреть решение

Прежде чем применять метод Гаусса, нам необходимо расположить систему уравнений так, чтобы все неизвестные находились слева от уравнения, а числа — справа:

$\left. \begin{array}{r}2x-6=4y+6z \\[2ex] -y-3z=1-3x \\[2ex] -4x-y=6-3z \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{r} 2x-4y-6z=6 \\[2ex] 3x-y-3z=1 \\[2ex] -4x-y+3z=6\end{array} \right\}$

После упорядочения системы строим разработанную матрицу системы:

$\left. \begin{array}{r} 2x-4y-6z=6 \\[2ex] 3x-y-3z=1 \\[2ex] -4x-y+3z=6 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & -6 & 6 \\[2ex] 3 & -1 & -3 & 1 \\[2ex] -4 & -1 & 3 & 6 \end{array} \right)$

Так как все числа в первой строке четные, то перед работой со строками разделим первую строку на 2. Так как это облегчит расчеты:

$\left( \begin{array}{ccc|c}2 & -4 & -6 & 6 \\[2ex] 3 & -1 & -3 & 1 \\[2ex] -4 & -1 & 3 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1/2} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & -2 & -3 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & -3 & 1 \\[2ex] -4 & -1 & 3 & 6\end{array} \right)$

Теперь нам нужно сделать все числа ниже основного массива равными 0.

Итак, мы выполняем операции со строками, чтобы заменить два последних элемента первого столбца:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & -3 & 1 \\[2ex] -4 & -1 & 3 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -3f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3+4f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & 3 \\[2ex] 0 & 5 & 6 & -8 \\[2ex] 0 & -9 & -9 & 18\end{array} \right)$

Как и раньше, поскольку все числа в последней строке кратны 9, для облегчения расчетов разделим ее на 9:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -2 & -3 & 3 \\[2ex] 0 & 5 & 6 & -8 \\[2ex] 0 & -9 & -9 & 18 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex]\xrightarrow{f_3/9} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & -2 & -3 & 3 \\[2ex] 0 & 5 & 6 & -8 \\[2ex] 0 & -1 & -1 & 2\end{array} \right)$

Теперь преобразуем последний элемент второго столбца в ноль:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -2 & -3 & 3 \\[2ex] 0 & 5 & 6 & -8 \\[2ex] 0 & -1 & -1 & 2\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{5f_3+f_2} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & 3 \\[2ex] 0 & 5 & 6 & -8 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & 3 \\[2ex] 0 & 5 & 6 & -8 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x-2y-3z=3 \\[2ex] 5y+6z=-8 \\[2ex] 1z=2 \end{array} \right\}$