В этой статье вы узнаете, как вычислить максимум и минимум функции, мы объясним вам это, шаг за шагом решив два примера. Кроме того, вы сможете попрактиковаться с помощью пошаговых упражнений на максимумы и минимумы функции.
Что такое максимум и минимум функции?
Максимумы функции — это самые большие значения функции, а минимумы функции — это наименьшие значения функции. Максимумы и минимумы функции являются относительными экстремумами , когда они представляют только самые большие или наименьшие значения в своей среде, но они являются абсолютными экстремумами , когда они представляют самые большие или наименьшие значения всей функции.
Вы также можете выявить относительные экстремумы, изучая рост и убывание функции :
- Точка является относительным максимумом , когда функция переходит от возрастания к убыванию.
- Точка является относительным минимумом , когда функция переходит от убывания к возрастанию.
Как найти максимум и минимум функции
По первой и второй производной функции мы можем узнать, имеет ли функция относительный экстремум в какой-либо точке и является ли эта точка относительным максимумом или относительным минимумом:
- Функция имеет экстремум относительно точек, которые сокращают ее первую производную.
- А знак второй производной функции определяет, является ли точка максимумом или минимумом:
- Если вторая производная отрицательна, функция имеет относительный максимум в этой точке.
- Если вторая производная положительна, функция имеет относительный минимум в этой точке.
- Рассчитайте относительные экстремумы следующей функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:
- Изучите монотонность и вычислите относительные экстремумы следующей функции:
Пример 1: Как вычислить максимум и минимум функции
После того, как мы увидели определения максимума и минимума функции, мы шаг за шагом решим пример, чтобы вы могли увидеть, как вычисляются максимум и минимум функции.
Относительными экстремумами функции будут точки, удовлетворяющие
. Поэтому сначала вычислим производную функции:
А теперь приравняем производную функции нулю и решим полученное квадратное уравнение:
Следовательно, относительные экстремумы функции равны x=+1 и x=-1.
Зная относительные экстремумы функции, мы можем узнать, являются ли они максимумом или минимумом со знаком второй производной. Поэтому вычисляем вторую производную функции:
И теперь мы оцениваем во второй производной относительные экстремумы, которые мы нашли ранее, чтобы узнать, являются ли они относительным максимумом или минимумом:
Относительный минимум
Максимальный относительный
Вторая производная при x=1 положительна, поэтому x=1 является относительным минимумом . С другой стороны, вторая производная при x=-1 отрицательна, поэтому x=-1 является относительным максимумом .
Наконец, мы подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y относительных экстремумов:
В заключение отметим, что относительные экстремумы функции таковы:
Минимум для точки
Максимум в точку
Пример 2: Изучение монотонности, максимумов и минимумов функции
Теперь посмотрим, как решается еще один вид упражнений. В этом случае мы объясним, как найти максимум и минимум по монотонности функции.
Первое, что нужно сделать, это вычислить область определения функции. Поскольку функция рациональна, нам нужно установить знаменатель равным 0, чтобы увидеть, какие числа не принадлежат области определения функции:
После того, как мы вычислили область определения функции, нам нужно изучить, какие точки сокращают первую производную. Таким образом, мы выводим функцию:
А теперь приравняем производную к 0 и решим уравнение:
Термин
Это предполагает деление всей левой части, чтобы мы могли умножить ее на всю правую часть:
Выделим общий множитель для решения квадратного уравнения:
Чтобы умножение было равно 0, один из двух элементов умножения должен быть нулем. Поэтому мы устанавливаем каждый фактор равным 0 и получаем два решения уравнения:
После того, как мы вычислили область определения функции и
, представляем все критические точки, найденные на прямой:
И мы оцениваем знак производной в каждом интервале, чтобы узнать, увеличивается или уменьшается функция. Для этого мы берем точку в каждом интервале (никогда не критические точки) и смотрим, какой знак имеет производная в этой точке:
Если производная положительна, это означает, что функция возрастает, а если производная отрицательна, это означает, что функция убывает. Следовательно, интервалы роста и падения составляют:
Рост:
Снижаться:
Кроме того, при x=0 функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому x=0 является относительным максимумом функции . А при x=2 функция переходит от убывания к увеличению, поэтому x=2 является относительным минимумом функции.
И, наконец, подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y концов:
Короче говоря, относительные экстремумы функции таковы:
Максимум в точку
Минимум для точки
Решенные упражнения на максимумы и минимумы функции
Упражнение 1
Рассчитайте относительные экстремумы следующей полиномиальной функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:
Посмотреть решениеОтносительными экстремумами функции будут точки, в которых первая производная функции равна нулю. Поэтому вычисляем производную функции:
И теперь решаем уравнение
У нас есть квадратное уравнение, поэтому для его решения применим общую формулу:
Следовательно, относительными экстремумами функции являются точки x=3 и x=-1.
Зная относительные экстремумы функции, мы можем узнать, являются ли они максимумом или минимумом со знаком второй производной. Поэтому мы снова дифференцируем функцию:
А теперь оценим вычисленные ранее точки во второй производной:
Вторая производная при x=3 положительна, поэтому x=3 является минимумом . А вторая производная при x=-1 отрицательна, поэтому x=-1 является максимальным .
И, наконец, подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y концов:
Короче говоря, относительные экстремумы функции таковы:
Минимум относительно точки
Максимум относительно точки
Упражнение 2
Вычислите относительные экстремумы следующей показательной функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:
Посмотреть решениеВо-первых, нам нужно дифференцировать функции. Для этого применим формулу производной произведения:
И теперь решаем уравнение
Число, возведенное в другое, никогда не может дать 0. Следовательно,
не имеет решения и единственным относительным экстремумом является
.
Теперь мы вычисляем вторую производную функции, чтобы знать, является ли относительный экстремум максимумом или минимумом:
А теперь оценим во второй производной экстремум, который мы нашли ранее, чтобы увидеть, максимум это или минимум:
Поскольку вторая производная при x=0 положительна, x=0 является относительным или локальным минимумом .
Наконец, мы подставляем точку, найденную в исходной функции, чтобы найти другую конечную координату:
Таким образом, единственным относительным экстремумом функции является:
Минимум для точки
Упражнение 3
Изучите монотонность и найдите относительные экстремумы следующей рациональной функции:
Посмотреть решениеСначала определяем область определения функции. Для этого приравняем знаменатель дроби нулю и решим полученное квадратное уравнение:
Выражение
Оно никогда не будет 0, поскольку результатом x 2 всегда будет положительное число или 0. Следовательно, добавление 1 никогда не даст 0. Таким образом, область определения функции состоит только из действительных чисел:
Далее изучаем, какие точки совпадают
Дифференцируем функцию, используя правило фактора:
Приравняем производную к 0 и решим уравнение:
У нас есть квадратное уравнение, поэтому для его решения воспользуемся общей формулой:
После того, как мы вычислили область определения функции и
, представим все особые точки, найденные на числовой прямой:
А теперь оценим знак производной на каждом интервале, чтобы узнать, возрастает или убывает функция. Поэтому мы берем точку в каждом интервале (никогда не особые точки) и смотрим, какой знак имеет производная в этой точке:
Если производная положительна, это означает, что функция возрастает в этом интервале, а если производная отрицательна, это означает, что функция убывает. Следовательно, интервалы роста и падения составляют:
Рост:
Снижаться:
Функция переходит от убывания к увеличению при x=-0,41, поэтому x=-0,41 является локальным минимумом функции. А функция переходит от возрастания к убыванию при x=2,41, поэтому x=2,41 является локальным максимумом функции.
Наконец, подставляем найденные экстремумы в исходную функцию, чтобы найти координаты Y точек:
Таким образом, относительные экстремумы функции таковы:
Минимум для точки
Максимум в точку
Упражнение 4
Мы знаем, что функция
пройти через точку
и имеет относительный крайний уровень
Определить значение неизвестных
и ценность
Посмотреть решениеПусть функция имеет относительный экстремум
это значит, что это выполнено
Поэтому вычисляем производную функции в
и мы устанавливаем его равным 0:
И решаем полученное уравнение, чтобы найти значение параметра а:
Таким образом, функция будет:
С другой стороны, они говорят нам, что функция проходит через точку
Это сказать,
Следовательно, мы можем применить это условие, чтобы найти значение переменной b:
И решаем полученное уравнение, чтобы найти значение параметра b:
Таким образом, функция такова: