Линейная функция и аффинная функция -

В этой статье вы найдете объяснение аффинной функции и линейной функции, а также различий, существующих между этими двумя типами функций. Кроме того, вы увидите примеры того, как построить график аффинной функции и линейной функции и как вычислить их выражения из двух точек. Наконец, вы сможете тренироваться, выполняя несколько упражнений, решая шаг за шагом.

Что такое аффинная функция и линейная функция?

Определения аффинной функции и линейной функции следующие:

Аффинная функция — это полиномиальная функция первой степени, то есть функция, которая, представленная на графике, представляет собой прямую линию. Сопутствующие функции следующие:

$f(x)=mx+n$

Золото

$m$

это наклон линии и

$n$

Это точка пересечения по оси Y, то есть точка пересечения функции с вертикальной осью.

В математике аффинные функции также называются линейными преобразованиями в контексте линейной алгебры.

Линейная функция — это аффинная функция, не имеющая независимого члена. Следовательно, формула для линейных функций имеет вид:

$f(x)=mx$

Золото

$m$

это наклон линии.

Область определения и диапазон (или диапазон) линейной функции и аффинной функции являются действительными числами:

$\text{Dom } f=\mathbff{R}$

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

В чем разница между линейной функцией и аффинной функцией?

Теперь, когда вы познакомились с понятиями линейной функции и аффинной функции, вы заметили, что они очень похожи друг на друга. Однако очень важно следующее различие между ними:

Единственное различие между линейной функцией и аффинной функцией состоит в том, что линейная функция не имеет независимого члена, в то время как аффинная функция всегда имеет коэффициент при пересечении (n), отличный от нуля (0).

Линейная функция

$f(x)=mx$

линейная функция

$f(x)=mx+n$

Это означает, что линейная функция всегда проходит через начало координат , точку (0,0). С другой стороны, аффинная функция никогда не пройдет через эту точку, поскольку ее точка пересечения отлична от 0.

В чем разница между линейной функцией и аффинной функцией?

Наклон и точка пересечения по оси Y линейной или аффинной функции

В этом разделе мы проанализируем пример аффинной или линейной функции, чтобы понять значение терминов.

$m$

$n$

или, другими словами, наклон и точка пересечения по оси Y.

Определите выражение функции, изображенной на графике, и классифицируйте ее как линейную или аффинную функцию.

Эти типы функций следуют следующему выражению:

$f(x)=mx+n$

что означает наклон и ось пересечения с линейной или аффинной функцией m и n

$n$

Это точка пересечения оси Y, т. е. точка пересечения функции с вертикальной осью Y. Итак, в этом случае:

$n=4$

С другой стороны,

$m$

это наклон линии. Y можно рассчитать, разделив разницу y между двумя точками на разницу х между этими же двумя точками:

$m=\cfrac{\Delta y }{\Delta x} = \cfrac{3}{2}$

$m$

говорит «на сколько y увеличивается для каждого x» , поэтому в этом случае функция «3y увеличивается для каждых 2x» .

В заключение, выражение для аффинной функции, представленное на графике, имеет вид:

$\displaystyle \bm{f(x)=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x+4}$

Кроме того, поскольку точка пересечения по оси Y не равна нулю, это аффинная функция .

Ниже мы покажем вам больше примеров линейных и аффинных функций, чтобы вы лучше поняли:

Как видно из этих примеров, чем больше наклон, тем круче линия и, следовательно, тем больше функция. Аналогично коэффициент наклона определяет рост или убывание функции:

Если наклон положительный, функция возрастает , то есть увеличивается с увеличением x .
Если наклон отрицательный, функция убывает , то есть уменьшается с увеличением x .

Кроме того, вы также можете определить, параллельны или перпендикулярны две линии по их наклонам:

Когда две линии имеют одинаковый наклон, они параллельны , то есть не пересекаются ни в одной точке или полностью идентичны.

$m_1 = m_2$

С другой стороны, две линии перпендикулярны , то есть пересекаются под вертикальным углом (90°), если их наклоны соответствуют следующему соотношению:

$m_1 = -\cfrac{1}{m_2}$

Пример представления аффинной или линейной функции

Давайте посмотрим, как построить график функции первой степени на примере.

Постройте график следующей аффинной функции:

$f(x)=2x-1$

Первое, что нам нужно сделать, это создать массив значений. Для этого мы предоставляем нужные нам значения

$x$

для получения значений

$f(x)$

$f(x)=2x-1$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0) = 2\cdot0-1=-1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1) = 2\cdot1-1=1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2) = 2\cdot2-1=3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3) = 2\cdot3-1=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4) = 2\cdot4-1=7$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{array}$

Хотя таблицы значений с двумя точками достаточно, мы можем сделать больше точек, чтобы убедиться в ее правильности.

После того, как мы создали таблицу значений, наносим точки на график:

как представить линию или линейную функцию или и аффинную

И наконец, соединяем точки и проводим линию:

графическое представление линейной или аффинной функции

Таким образом, мы уже представили функцию на графике. Как видите, это не сложно, просто нужно сначала составить таблицу значений, а затем нанести точки на график.

Как вычислить линейную или аффинную функцию по двум точкам

Теперь посмотрим, как найти линейную или аффинную функцию из двух точек на примере:

Вычислите линейную функцию, удовлетворяющую условию
$f(3)=5$

и пройти через точку

$(1,-1).$

Прежде всего,

$f(3)=5$

Это означает, что функция проходит через точку

$(3,5)$

Следовательно, поскольку у нас есть две точки, через которые проходит функция, мы можем вычислить наклон

$m$

функция:

Учитывая два момента,

$P_1=(x_1,y_1)$

$P_2=(x_2,y_2)$

, склон

$m$

функции вычисляется:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

В нашем случае функция проходит через точки

$(3,5)$

$(1,-1)$

. Итак, наклон

$m$

функции:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{-1-5}{1-3} = \cfrac{-6}{-2} = 3$

Таким образом, функция будет иметь вид:

$f(x) = mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 3} \ f(x)=3x+n$

Как только мы узнаем

$m$

мы можем разгадать тайну

$n$

. Для этого подставим в уравнение координаты точки, принадлежащей функции. Например пункт (3.5):

$f(x) = 3x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ 5} \ 5=3\cdot 3+n$

Решаем полученное уравнение:

$5=3\cdot 3+n$

$5= 9 + n$

$5-9=n$

$-4=n$

Таким образом, линейная функция:

$\bm{f(x)=3x-4}$

Решенные упражнения на линейные и аффинные функции

Упражнение 1

Определите наклон и начало координат следующей аффинной функции:

$f(x)=-5x-2$

Посмотреть решение

Линейная функция имеет вид

$f(x)=mx+n .$

Таким образом, наклон функции — это число, которое сопровождает x , которое в данном случае равно -5:

$\bm{m=-5}$

А точка пересечения по оси Y — это независимый член, который в данном случае равен -2:

$\bm{n=-2}$

Упражнение 2

Постройте график следующей аффинной функции:

$f(x)=x+1$

Посмотреть решение

Сначала мы придаем значения

$x$

создать таблицу значений:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=0+1 = 1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1+1= 2$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2+1 = 3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=3+1 = 4$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=4+1 = 5$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{array}$

А затем представляем точки из таблицы значений на графике и проводим линию:

Упражнение 3

Постройте на графике следующую аффинную функцию:

$f(x)=-2x+6$

Посмотреть решение

Сначала мы придаем значения

$x$

создать таблицу значений:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=-2\cdot0+6=6$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=-2\cdot1+6=4$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=-2\cdot2+6=2$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=-2\cdot3+6=0$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=-2\cdot4+6=-2$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 6 \\ 1 & 4 \\ 2 & 2 \\ 3 & 0 \\ 4 & -2 \end{array}$

И наконец, представляем точки из таблицы значений на графике и проводим линию:

упражнение решается шаг за шагом для линейной и аффинной функции

Упражнение 4

Найдите выражение для аффинной функции, проходящей через точки (2,3) и (0,1).

Посмотреть решение

Функция проходит через точки (2,3) и (0,1), поэтому наклон функции равен:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{1-3}{0-2} = \cfrac{-2}{-2} = 1$

И функция будет иметь вид:

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 1} \ f(x)=1x+n$

Зная m, мы можем вычислить n . Для этого нам необходимо подставить в уравнение координаты точки, принадлежащей функции. Например пункт (2,3):

$f(x)=x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 2 \ ; \ f(x) \ = \ 3}$

$3=2+n$

Теперь нам необходимо решить полученное уравнение:

$3-2=n$

$1 = n$

Таким образом, функция соответствует следующему выражению:

$\bm{f(x)=x+1}$

Упражнение 5

Постройте график следующей аффинной функции:

$f(x)=2x-1$

Посмотреть решение

Сначала мы придаем значения

$x$

создать таблицу значений:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=2\cdot0-1=-1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=2\cdot1-1=1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2\cdot2-1=3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=2\cdot3-1=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=2\cdot4-1=7$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{array}$

А затем представляем точки из таблицы значений на графике и проводим линию:

Решенные упражнения для построения графика линейной или аффинной функции

Упражнение 6

Вычислите линейную функцию, удовлетворяющую следующим двум условиям:

$\begin{array}{c}f(3) =-2 \\[3ex] f(-1)=6 \end{array}$

Посмотреть решение

Пусть это сбудется

$f(3)=-2$

Это означает, что функция проходит через точку (3,-2). И таким же образом,

$f(-1)=6$

Это означает, что функция проходит через точку (-1,6).

Итак, функция проходит через точки (3,-2) и (-1,6), поэтому ее наклон равен:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{6-(-2)}{-1-3} = \cfrac{8}{-4} = -2$

Таким образом, функция будет иметь вид:

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -2} \ f(x)=-2x+n$

И как только мы узнаем m, мы сможем вычислить n . Для этого подставим в уравнение координаты точки, принадлежащей функции. Например точка (3,-2):

$f(x)=-2x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ -2} \ -2=-2(3)+n$

И решаем полученное уравнение:

$-2=-6+n$

$-2+6=n$

$4 = n$

Таким образом, функция такова:

$\bm{f(x)=-2x+4}$

Упражнение 7

Найдите аффинную функцию, которую он выполняет.

$f(1) =6$

и проходит через точку (3.5).

Посмотреть решение

Пусть это сбудется

$f(1)=6$

Это означает, что функция проходит через точку (1,6).

Таким образом, функция проходит через точки (1.6) и (3.5), и поэтому ее наклон равен:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{5-6}{3-1} = \cfrac{-1}{2} = -\cfrac{1}{2}$

Таким образом, функция будет иметь вид:

$\displaystyle f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -\frac{1}{2}} \ f(x)=-\frac{1}{2}x+n$

Зная термин m, мы можем вычислить коэффициент n . Для этого подставим в уравнение координаты точки, принадлежащей функции. Например точка (1,6):

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 1 \ ; \ f(x) \ = \ 6} \ 6=-\frac{1}{2}\cdot 1+n$

Решаем полученное уравнение:

$6=-\cfrac{1}{2}+n$

$6+\cfrac{1}{2}=n$

Помните, что для сложения дробей необходимо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители:

$\cfrac{2 \cdot 6}{2} +\cfrac{1 \cdot 1}{2}=n$

$\cfrac{12}{2} +\cfrac{1}{2}=n$

$\cfrac{13}{2}=n$

Таким образом, функция такова:

$\displaystyle \bm{f(x)=-}\mathbf{\frac{1}{2}}\bm{x +}\mathbf{\frac{13}{2}}$

Упражнение 8

Решите следующую задачу, связанную с линейными и аффинными функциями:

Магазин продает 40 единиц товара при цене 15 евро за единицу и 65 единиц при цене 10 евро за единицу.

Рассчитайте функцию спроса на продукт, предполагая, что это аффинная функция.
Сколько единиц будет продано, если цена будет установлена на уровне 12 евро за единицу?

Посмотреть решение

Поскольку это аффинная функция, она будет иметь тип

$f(x)=mx+n .$

Золото

$x$

будет цена за единицу продукции и

$f(x)$

будут проданы единицы.

В пресс-релизе сообщается, что при цене 15 евро за единицу продается 40 единиц. Поэтому, как

$x$

это цена и

$f(x)$